حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\infty \sum n = 0 \frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 2)}^{n}}{n}$

خطوة 1

بالنسبة إلى سلسلة لانهائية

\sum a_{n}

$\sum_{}^{} a_{n}$ ، أوجِد حد

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ لتحديد التقارب باستخدام اختبار الجذر لكوشي.

L = lim n \to \infty {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

خطوة 2

عوّض عن

a_{n}

$a_{n}$ .

L = lim n \to \infty {∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n}}{n} ∣ ∣ ∣}^{\frac{1}{n}}

$L = lim_{n \to \infty} {| \frac{{(- 2)}^{n}}{n} |}^{\frac{1}{n}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الأُس إلى القيمة المطلقة.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{{(- 2)}^{n}}{n})}^{\frac{1}{n}} |$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الضرب على

\frac{{(- 2)}^{n}}{n}

$\frac{{(- 2)}^{n}}{n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في

{({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}

${({(- 2)}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ

n

$n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{n \frac{1}{n}}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{{(- 2)}^{1}}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 3.4

احسِب قيمة الأُس.

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

L = lim n \to \infty ∣ ∣ ∣ \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

انقُل النهاية إلى داخل علامتَي القيمة المطلقة.

L = ∣ ∣ ∣ lim n \to \infty \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{- 2}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 4.1.2

انقُل الحد

- 2

$- 2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

n

$n$ .

L = ∣ ∣ ∣ - 2 lim n \to \infty \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 4.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب

n

$n$ من

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{lim n \to \infty 1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 4.1.4

احسِب قيمة حد

1

$1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

n

$n$ من

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty n^{\frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}}} |$

خطوة 4.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة

n^{\frac{1}{n}}

$n^{\frac{1}{n}}$ بالصيغة

e^{ln (n^{\frac{1}{n}})}

$e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{ln (n^{\frac{1}{n}})}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\ln (n^{\frac{1}{n}})}} |$

خطوة 4.2.2

وسّع

ln (n^{\frac{1}{n}})

$\ln (n^{\frac{1}{n}})$ بنقل

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ خارج اللوغاريتم.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{\frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{lim n \to \infty e^{\frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \ln (n)}} |$

خطوة 4.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n} ln (n)}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln (n)}} |$

خطوة 4.3.2

اجمع

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ و

ln (n)

$\ln (n)$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n}}} |$

خطوة 4.4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim n \to \infty ln (n)}{lim n \to \infty n}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{lim_{n \to \infty} \ln (n)}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

خطوة 4.4.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى

\infty

$\infty$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim n \to \infty n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} n}}} |$

خطوة 4.4.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

L = ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{\frac{\infty}{\infty}}} |$

خطوة 4.4.2

بما أن

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

lim n \to \infty \frac{ln (n)}{n} = lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\ln (n)}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}$

خطوة 4.4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{d}{d n} [ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [\ln (n)]}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

خطوة 4.4.3.2

مشتق

ln (n)

$\ln (n)$ بالنسبة إلى

n

$n$ يساوي

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{d}{d n} [n]}}} |$

خطوة 4.4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{1}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{\frac{1}{n}}{1}}} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}}} |$

خطوة 4.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n} \cdot 1}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot 1}} |$

خطوة 4.4.5

اضرب

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ في

1

$1$ .

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

L = ∣ ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{lim n \to \infty \frac{1}{n}}} ∣ ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}} |$

خطوة 4.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$ يقترب من

0

$0$ .

L = ∣ ∣ ∣ - 2 \frac{1}{e^{0}} ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 \frac{1}{e^{0}} |$

خطوة 4.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

L = ∣ ∣ ∣ - 2 (\frac{1}{1}) ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

خطوة 4.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ

1

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

L = ∣ ∣ ∣ - 2 (\frac{1}{1}) ∣ ∣ ∣

$L = | - 2 (\frac{1}{1}) |$

خطوة 4.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

L = | - 2 \cdot 1 |

$L = | - 2 \cdot 1 |$

L = | - 2 \cdot 1 |

$L = | - 2 \cdot 1 |$

خطوة 4.6.3

اضرب

- 2

$- 2$ في

1

$1$ .

L = | - 2 |

$L = | - 2 |$

خطوة 4.6.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

- 2

$- 2$ و

0

$0$ تساوي

2

$2$ .

L = 2

$L = 2$

L = 2

$L = 2$

L = 2

$L = 2$

خطوة 5

في حال

L < 1

$L < 1$ ، فإن السلسلة متقاربة تمامًا. وفي حال

L > 1

$L > 1$ ، فإن السلسلة متباعدة. أما في حال

L = 1

$L = 1$ ، فإن الاختبار غير قاطع. وفي هذه الحالة، يكون

L > 1

$L > 1$ .

السلسلة متباعدة في

[0, \infty)

$[0, \infty)$

إدخال مسألتك