حساب التفاضل والتكامل الأمثلة
f(x)=110x+4f(x)=110x+4
خطوة 1
أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة 110x+4110x+4 غير معرّفة.
نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.
خطوة 2
تظهر خطوط التقارب الرأسية في مناطق عدم الاتصال اللانهائي.
لا توجد خطوط تقارب رأسية
خطوة 3
خطوة 3.1
طبّق قاعدة لوبيتال.
خطوة 3.1.1
احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.
خطوة 3.1.1.1
خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.
limx→∞1+4⋅10xlimx→∞10xlimx→∞1+4⋅10xlimx→∞10x
خطوة 3.1.1.2
احسِب قيمة حد بسط الكسر.
خطوة 3.1.1.2.1
احسِب قيمة النهاية.
خطوة 3.1.1.2.1.1
قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب xx من ∞∞.
limx→∞1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10xlimx→∞1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10x
خطوة 3.1.1.2.1.2
احسِب قيمة حد 11 الذي يظل ثابتًا مع اقتراب xx من ∞∞.
1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10x1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10x
1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10x1+limx→∞4⋅10xlimx→∞10x
خطوة 3.1.1.2.2
بما أن الدالة 10x10x تقترب من ∞∞، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب 44 في الدالة يقترب أيضًا من ∞∞.
خطوة 3.1.1.2.2.1
انظر النهاية ذات المضاعف الثابت 44 المحذوف.
1+limx→∞10xlimx→∞10x1+limx→∞10xlimx→∞10x
خطوة 3.1.1.2.2.2
بما أن الأُس xx يقترب من ∞∞، إذن الكمية 10x10x تقترب من ∞∞.
1+∞limx→∞10x1+∞limx→∞10x
1+∞limx→∞10x1+∞limx→∞10x
خطوة 3.1.1.2.3
ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.
∞limx→∞10x∞limx→∞10x
∞limx→∞10x∞limx→∞10x
خطوة 3.1.1.3
بما أن الأُس xx يقترب من ∞∞، إذن الكمية 10x10x تقترب من ∞∞.
∞∞∞∞
خطوة 3.1.1.4
ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.
غير معرّف
∞∞∞∞
خطوة 3.1.2
بما أن ∞∞∞∞ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.
limx→∞1+4⋅10x10x=limx→∞ddx[1+4⋅10x]ddx[10x]limx→∞1+4⋅10x10x=limx→∞ddx[1+4⋅10x]ddx[10x]
خطوة 3.1.3
أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.
خطوة 3.1.3.1
أوجِد مشتقة البسط والقاسم.
limx→∞ddx[1+4⋅10x]ddx[10x]limx→∞ddx[1+4⋅10x]ddx[10x]
خطوة 3.1.3.2
وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق 1+4⋅10x1+4⋅10x بالنسبة إلى xx هو ddx[1]+ddx[4⋅10x]ddx[1]+ddx[4⋅10x].
limx→∞ddx[1]+ddx[4⋅10x]ddx[10x]limx→∞ddx[1]+ddx[4⋅10x]ddx[10x]
خطوة 3.1.3.3
بما أن 11 عدد ثابت بالنسبة إلى xx، فإن مشتق 11 بالنسبة إلى xx هو 00.
limx→∞0+ddx[4⋅10x]ddx[10x]limx→∞0+ddx[4⋅10x]ddx[10x]
خطوة 3.1.3.4
احسِب قيمة ddx[4⋅10x]ddx[4⋅10x].
خطوة 3.1.3.4.1
بما أن 44 عدد ثابت بالنسبة إلى xx، إذن مشتق 4⋅10x4⋅10x بالنسبة إلى xx يساوي 4ddx[10x]4ddx[10x].
limx→∞0+4ddx[10x]ddx[10x]limx→∞0+4ddx[10x]ddx[10x]
خطوة 3.1.3.4.2
أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن ddx[ax] هو axln(a) حيث a = 10.
limx→∞0+4⋅10xln(10)ddx[10x]
limx→∞0+4⋅10xln(10)ddx[10x]
خطوة 3.1.3.5
أضف 0 و4⋅10xln(10).
limx→∞4⋅10xln(10)ddx[10x]
خطوة 3.1.3.6
أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن ddx[ax] هو axln(a) حيث a = 10.
limx→∞4⋅10xln(10)10xln(10)
limx→∞4⋅10xln(10)10xln(10)
خطوة 3.1.4
اختزِل.
خطوة 3.1.4.1
ألغِ العامل المشترك لـ 10x.
خطوة 3.1.4.1.1
ألغِ العامل المشترك.
limx→∞4⋅10xln(10)10xln(10)
خطوة 3.1.4.1.2
أعِد كتابة العبارة.
limx→∞4ln(10)ln(10)
limx→∞4ln(10)ln(10)
خطوة 3.1.4.2
ألغِ العامل المشترك لـ ln(10).
خطوة 3.1.4.2.1
ألغِ العامل المشترك.
limx→∞4ln(10)ln(10)
خطوة 3.1.4.2.2
اقسِم 4 على 1.
limx→∞4
limx→∞4
limx→∞4
limx→∞4
خطوة 3.2
احسِب قيمة حد 4 الذي يظل ثابتًا مع اقتراب x من ∞.
4
4
خطوة 4
اسرِد خطوط التقارب الأفقية:
y=4
خطوة 5
لا يوجد خط تقارب مائل لأن درجة بسْط الكسر أصغر من أو تساوي درجة القاسم.
لا توجد خطوط تقارب مائلة
خطوة 6
هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.
لا توجد خطوط تقارب رأسية
خطوط التقارب الأفقية: y=4
لا توجد خطوط تقارب مائلة
خطوة 7
