حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ ,

$y = e^{2 x}$

خطوة 1

أوجِد

$y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

خطوة 1.2

مشتق

$y$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = e^{x}$ و

$g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u$ لتصبح

$2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو

$a^{u} \ln (a)$ حيث

$a$ =

$e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$2 x$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 1.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اضرب

$2$ في

$1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 1.3.2.3.2

انقُل

$2$ إلى يسار

$e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 e^{2 x}$

خطوة 2

أوجِد

$y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

خطوة 2.2

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$2 e^{2 x}$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

$f (x) = e^{x}$ و

$g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

$u$ لتصبح

$2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو

$a^{u} \ln (a)$ حيث

$a$ =

$e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 2.4

احذِف الأقواس.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.5

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$2 x$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

اضرب

$2$ في

$2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

خطوة 2.8

اضرب

$4$ في

$1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

خطوة 3

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

خطوة 4

أضف

$2 e^{2 x}$ و

$4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

خطوة 5

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = e^{2 x}$ تمثل حلاً لـ

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$

إدخال مسألتك