حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 x$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة

e^{\int P (x) d x}

$e^{\int P (x) d x}$ ، حيث

P (x) = - \frac{1}{x}

$P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

e^{\int - \frac{1}{x} d x}

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل

- \frac{1}{x}

$- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

e^{- \int \frac{1}{x} d x}

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

تكامل

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\ln (| x |)

$\ln (| x |)$ .

e^{- (\ln (| x |) + C)}

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط.

e^{- \ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

e^{- \ln (| x |) + C}

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

e^{- \ln (x)}

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

e^{\ln (x^{- 1})}

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

x^{- 1}

$x^{- 1}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ و

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.3

اجمع

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ و

y

$y$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.4

اضرب

- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ في

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.4.2

ارفع

x

$x$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.4.3

ارفع

x

$x$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.2.4.5

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (2 x)$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2 \frac{1}{x} x$

خطوة 2.4

اجمع

2

$2$ و

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} x$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 2$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 2$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 2 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

\frac{1}{x} y = \int 2 d x

$\frac{1}{x} y = \int 2 d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

\frac{1}{x} y = 2 x + C

$\frac{1}{x} y = 2 x + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة

y

$y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ و

y

$y$ .

\frac{y}{x} = 2 x + C

$\frac{y}{x} = 2 x + C$

خطوة 7.2

اضرب كلا الطرفين في

x

$x$ .

\frac{y}{x} x = (2 x + C) x

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{y}{x} x = (2 x + C) x

$\frac{y}{x} x = (2 x + C) x$

خطوة 7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

y = (2 x + C) x

$y = (2 x + C) x$

y = (2 x + C) x

$y = (2 x + C) x$

y = (2 x + C) x

$y = (2 x + C) x$

خطوة 7.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

بسّط

(2 x + C) x

$(2 x + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

y = 2 x \cdot x + C x

$y = 2 x \cdot x + C x$

خطوة 7.3.2.1.2

اضرب

x

$x$ في

x

$x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.2.1

انقُل

x

$x$ .

y = 2 (x \cdot x) + C x

$y = 2 (x \cdot x) + C x$

خطوة 7.3.2.1.2.2

اضرب

x

$x$ في

x

$x$ .

y = 2 x^{2} + C x

$y = 2 x^{2} + C x$

y = 2 x^{2} + C x

$y = 2 x^{2} + C x$

خطوة 7.3.2.1.3

أعِد ترتيب

2 x^{2}

$2 x^{2}$ و

C x

$C x$ .

y = C x + 2 x^{2}

$y = C x + 2 x^{2}$

y = C x + 2 x^{2}

$y = C x + 2 x^{2}$

y = C x + 2 x^{2}

$y = C x + 2 x^{2}$

y = C x + 2 x^{2}

$y = C x + 2 x^{2}$

y = C x + 2 x^{2}

$y = C x + 2 x^{2}$

إدخال مسألتك