حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة الدالة

\frac{y}{x}

$\frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ على

x

$x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اقسِم كل حد في

x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}

$x \cdot \frac{d y}{d x} = y + \sqrt{x y}$ على

x

$x$ .

\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

خطوة 1.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

خطوة 1.1.2.1.2

اقسِم

$\frac{d y}{d x}$ على

$1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{x}$

خطوة 1.2

افترض أن

$\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x^{2}}}$

خطوة 1.3

اجمع

$\sqrt{x y}$ و

$\sqrt{x^{2}}$ في جذر واحد.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x^{2}}}$

خطوة 1.4

اختزِل العبارة

$\frac{x y}{x^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل

$x$ من

$x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x^{2}}}$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل

$x$ من

$x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x (y)}{x \cdot x}}$

خطوة 1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x y}{x \cdot x}}$

خطوة 1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

خطوة 2

افترض أن

$V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ

$V$ عن

$\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

خطوة 3

أوجِد قيمة

$y$ في

$V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 4

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق

$y = V x$ بالنسبة إلى

$x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 5

عوّض بقيمة

$\frac{d y}{d x}$ التي تساوي

$x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد قيمة

$\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على

$\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.1

اطرح

$V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

خطوة 6.1.1.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في

$V + \sqrt{V} - V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1.2.1

اطرح

$V$ من

$V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

خطوة 6.1.1.1.2.2

أضف

$0$ و

$\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم كل حد في

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ على

$x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

اقسِم كل حد في

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ على

$x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

خطوة 6.1.1.2.2.1.2

اقسِم

$\frac{d V}{d x}$ على

$1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

خطوة 6.1.2

اضرب كلا الطرفين في

$\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ

$\sqrt{V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

خطوة 6.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{V}$ في صورة

$V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.2

انقُل

$V^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة

$- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3

اضرب الأُسس في

${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3.2

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$V^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى

$V$ هو

$2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 6.2.3

تكامل

$\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 6.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة

$C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة

$V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ على

$2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اقسِم كل حد في

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ على

$2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 6.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 6.3.1.2.2

اقسِم

$V^{\frac{1}{2}}$ على

$1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

خطوة 6.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1.1

أعِد كتابة

$\frac{\ln (| x |)}{2}$ بالصيغة

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

خطوة 6.3.1.3.1.2

بسّط

$\frac{1}{2} \ln (| x |)$ بنقل

$\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

خطوة 6.3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة

$2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

بسّط

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1

اضرب الأُسس في

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 6.3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 6.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 6.3.3.1.2

بسّط.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

خطوة 6.4

بسّط ثابت التكامل.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

خطوة 7

عوّض بقيمة

$V$ التي تساوي

$\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة

$y$ في

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب كلا الطرفين في

$x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

خطوة 8.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أعِد ترتيب العوامل في

${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

إدخال مسألتك