حساب التفاضل والتكامل الأمثلة
dydx=yx+y√xy
خطوة 1
خطوة 1.1
افترض أن √y2=y.
dydx=yx+√y2√xy
خطوة 1.2
اجمع √y2 و√xy في جذر واحد.
dydx=yx+√y2xy
خطوة 1.3
اختزِل العبارة y2xy بحذف العوامل المشتركة.
خطوة 1.3.1
أخرِج العامل y من y2.
dydx=yx+√y⋅yxy
خطوة 1.3.2
أخرِج العامل y من xy.
dydx=yx+√y⋅yyx
خطوة 1.3.3
ألغِ العامل المشترك.
dydx=yx+√y⋅yyx
خطوة 1.3.4
أعِد كتابة العبارة.
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
dydx=yx+√yx
خطوة 2
افترض أن V=yx. عوّض بـ V عن yx.
dydx=V+√V
خطوة 3
أوجِد قيمة y في V=yx.
y=Vx
خطوة 4
استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق y=Vx بالنسبة إلى x.
dydx=xdVdx+V
خطوة 5
عوّض بقيمة dydx التي تساوي xdVdx+V.
xdVdx+V=V+√V
خطوة 6
خطوة 6.1
افصِل المتغيرات.
خطوة 6.1.1
أوجِد قيمة dVdx.
خطوة 6.1.1.1
انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على dVdx إلى المتعادل الأيمن.
خطوة 6.1.1.1.1
اطرح V من كلا المتعادلين.
xdVdx=V+√V-V
خطوة 6.1.1.1.2
جمّع الحدود المتعاكسة في V+√V-V.
خطوة 6.1.1.1.2.1
اطرح V من V.
xdVdx=0+√V
خطوة 6.1.1.1.2.2
أضف 0 و√V.
xdVdx=√V
xdVdx=√V
xdVdx=√V
خطوة 6.1.1.2
اقسِم كل حد في xdVdx=√V على x وبسّط.
خطوة 6.1.1.2.1
اقسِم كل حد في xdVdx=√V على x.
xdVdxx=√Vx
خطوة 6.1.1.2.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 6.1.1.2.2.1
ألغِ العامل المشترك لـ x.
خطوة 6.1.1.2.2.1.1
ألغِ العامل المشترك.
xdVdxx=√Vx
خطوة 6.1.1.2.2.1.2
اقسِم dVdx على 1.
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
dVdx=√Vx
خطوة 6.1.2
اضرب كلا الطرفين في 1√V.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
خطوة 6.1.3
ألغِ العامل المشترك لـ √V.
خطوة 6.1.3.1
ألغِ العامل المشترك.
1√VdVdx=1√V⋅√Vx
خطوة 6.1.3.2
أعِد كتابة العبارة.
1√VdVdx=1x
1√VdVdx=1x
خطوة 6.1.4
أعِد كتابة المعادلة.
1√VdV=1xdx
1√VdV=1xdx
خطوة 6.2
أوجِد تكامل كلا الطرفين.
خطوة 6.2.1
عيّن التكامل في كل طرف.
∫1√VdV=∫1xdx
خطوة 6.2.2
أوجِد تكامل الطرف الأيسر.
خطوة 6.2.2.1
طبّق القواعد الأساسية للأُسس.
خطوة 6.2.2.1.1
استخدِم n√ax=axn لكتابة √V في صورة V12.
∫1V12dV=∫1xdx
خطوة 6.2.2.1.2
انقُل V12 خارج القاسم برفعها إلى القوة -1.
∫(V12)-1dV=∫1xdx
خطوة 6.2.2.1.3
اضرب الأُسس في (V12)-1.
خطوة 6.2.2.1.3.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، (am)n=amn.
∫V12⋅-1dV=∫1xdx
خطوة 6.2.2.1.3.2
اجمع 12 و-1.
∫V-12dV=∫1xdx
خطوة 6.2.2.1.3.3
انقُل السالب أمام الكسر.
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
∫V-12dV=∫1xdx
خطوة 6.2.2.2
وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل V-12 بالنسبة إلى V هو 2V12.
2V12+C1=∫1xdx
2V12+C1=∫1xdx
خطوة 6.2.3
تكامل 1x بالنسبة إلى x هو ln(|x|).
2V12+C1=ln(|x|)+C2
خطوة 6.2.4
جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة C.
2V12=ln(|x|)+C
2V12=ln(|x|)+C
خطوة 6.3
أوجِد قيمة V.
خطوة 6.3.1
اقسِم كل حد في 2V12=ln(|x|)+C على 2 وبسّط.
خطوة 6.3.1.1
اقسِم كل حد في 2V12=ln(|x|)+C على 2.
2V122=ln(|x|)2+C2
خطوة 6.3.1.2
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 6.3.1.2.1
ألغِ العامل المشترك.
2V122=ln(|x|)2+C2
خطوة 6.3.1.2.2
اقسِم V12 على 1.
V12=ln(|x|)2+C2
V12=ln(|x|)2+C2
خطوة 6.3.1.3
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 6.3.1.3.1
بسّط كل حد.
خطوة 6.3.1.3.1.1
أعِد كتابة ln(|x|)2 بالصيغة 12ln(|x|).
V12=12ln(|x|)+C2
خطوة 6.3.1.3.1.2
بسّط 12ln(|x|) بنقل 12 داخل اللوغاريتم.
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
V12=ln(|x|12)+C2
خطوة 6.3.2
ارفع كل متعادل إلى القوة 2 لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.
(V12)2=(ln(|x|12)+C2)2
خطوة 6.3.3
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 6.3.3.1
بسّط (V12)2.
خطوة 6.3.3.1.1
اضرب الأُسس في (V12)2.
خطوة 6.3.3.1.1.1
طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، (am)n=amn.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
خطوة 6.3.3.1.1.2
ألغِ العامل المشترك لـ 2.
خطوة 6.3.3.1.1.2.1
ألغِ العامل المشترك.
V12⋅2=(ln(|x|12)+C2)2
خطوة 6.3.3.1.1.2.2
أعِد كتابة العبارة.
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
V1=(ln(|x|12)+C2)2
خطوة 6.3.3.1.2
بسّط.
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
V=(ln(|x|12)+C2)2
خطوة 6.4
بسّط ثابت التكامل.
V=(ln(|x|12)+C)2
V=(ln(|x|12)+C)2
خطوة 7
عوّض بقيمة V التي تساوي yx.
yx=(ln(|x|12)+C)2
خطوة 8
خطوة 8.1
اضرب كلا الطرفين في x.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
خطوة 8.2
بسّط.
خطوة 8.2.1
بسّط الطرف الأيسر.
خطوة 8.2.1.1
ألغِ العامل المشترك لـ x.
خطوة 8.2.1.1.1
ألغِ العامل المشترك.
yxx=(ln(|x|12)+C)2x
خطوة 8.2.1.1.2
أعِد كتابة العبارة.
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
y=(ln(|x|12)+C)2x
خطوة 8.2.2
بسّط الطرف الأيمن.
خطوة 8.2.2.1
أعِد ترتيب العوامل في (ln(|x|12)+C)2x.
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2
y=x(ln(|x|12)+C)2