حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

(sin (y) + x) d x + (x cos (y)) d y = 0

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث

M (x, y) = sin (y) + x

$M (x, y) = \sin (y) + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة

M

$M$ بالنسبة إلى

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y) + x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

sin (y) + x

$\sin (y) + x$ بالنسبة إلى

y

$y$ هو

\frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.3

مشتق

sin (y)

$\sin (y)$ بالنسبة إلى

y

$y$ يساوي

cos (y)

$\cos (y)$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + \frac{d}{d y} [x]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن

x

$x$ عدد ثابت بالنسبة إلى

y

$y$ ، فإن مشتق

x

$x$ بالنسبة إلى

y

$y$ هو

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y) + 0

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

خطوة 1.4.2

أضف

cos (y)

$\cos (y)$ و

0

$0$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

\frac{\partial M}{\partial y} = cos (y)

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

خطوة 2

أوجِد

$\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث

$N (x, y) = x \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة

$N$ بالنسبة إلى

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

خطوة 2.2

بما أن

$\cos (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$x \cos (y)$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب

$\cos (y)$ في

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

خطوة 3

تحقق من أن

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ

$\cos (y)$ عن

$\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ

$\cos (y)$ عن

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\cos (y) = \cos (y)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن

$f (x, y)$ لتساوي تكامل

$N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ

$N (x, y) = x \cos (y)$ لإيجاد

$f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن

$x$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$y$ ، انقُل

$x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

خطوة 5.2

تكامل

$\cos (y)$ بالنسبة إلى

$y$ هو

$\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل

$g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال

$C$ بـ

$g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

خطوة 8

أوجِد

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة

$f$ بالنسبة إلى

$x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

$x \sin (y) + g (x)$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن

$\sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$x \sin (y)$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3.3

اضرب

$\sin (y)$ في

$1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق

$g (x)$ هو

$\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

خطوة 9

أوجِد قيمة

$\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على

$\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح

$\sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في

$\sin (y) + x - \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح

$\sin (y)$ من

$\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف

$x$ و

$0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ

$x$ لإيجاد

$g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي

$\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$x$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن

$g (x)$ في

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

إدخال مسألتك