حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$

خطوة 1

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن

v = y^{1 - n}

$v = y^{1 - n}$ حيث

n

$n$ هو أُس

y^{2}

$y^{2}$ .

v = y^{- 1}

$v = y^{- 1}$

خطوة 2

أوجِد قيمة

y

$y$ في المعادلة.

y = v^{- 1}

$y = v^{- 1}$

خطوة 3

خُذ مشتق

y

$y$ بالنسبة إلى

x

$x$ .

y' = v^{- 1}

$y' = v^{- 1}$

خطوة 4

خُذ مشتق

v^{- 1}

$v^{- 1}$ بالنسبة إلى

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

خُذ مشتق

v^{- 1}

$v^{- 1}$ .

y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث

f (x) = 1

$f (x) = 1$ و

g (x) = v

$g (x) = v$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب

- 1

$- 1$ في

1

$1$ .

y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.2

بما أن

1

$1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، فإن مشتق

1

$1$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

0

$0$ .

y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

اضرب

v

$v$ في

0

$0$ .

y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.2

اطرح

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ من

0

$0$ .

y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة

\frac{d}{d x} [v]

$\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة

v'

$v'$ .

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

y' = - \frac{v'}{v^{2}}

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 5

عوّض بـ

- \frac{v'}{v^{2}}

$- \frac{v'}{v^{2}}$ عن

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ وبـ

v^{- 1}

$v^{- 1}$ عن

y

$y$ في المعادلة الأصلية

\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x} y^{2}$ .

- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 6

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كل حد في

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ في

- v^{2}

$- v^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب كل حد في

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ في

- v^{2}

$- v^{2}$ .

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ

v^{2}

$v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في

- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أخرِج العامل

v^{2}

$v^{2}$ من

- v^{2}

$- v^{2}$ .

\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب

$\frac{d v}{d x}$ في

$1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5

اضرب

$v^{- 1}$ في

$v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.5.1

انقُل

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.5.3

اطرح

$1$ من

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.6

بسّط

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.7

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.2.1.8

اضرب

$v$ في

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 6.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

خطوة 6.1.3.2

اضرب الأُسس في

${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

خطوة 6.1.3.2.2

اضرب

$- 1$ في

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{- 2} v^{2}$

خطوة 6.1.3.3

اضرب

$v^{- 2}$ في

$v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

انقُل

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} (v^{2} v^{- 2})$

خطوة 6.1.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{2 - 2}$

خطوة 6.1.3.3.3

اطرح

$2$ من

$2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x} v^{0}$

خطوة 6.1.3.4

بسّط

$- e^{x} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - e^{x}$

خطوة 6.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة

$e^{\int P (x) d x}$ ، حيث

$P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 6.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 6.3

اضرب كل حد في عامل التكامل

$e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب كل حد في

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- e^{x})$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x} e^{x}$

خطوة 6.3.3

اضرب

$e^{x}$ في

$e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل

$e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - (e^{x} e^{x})$

خطوة 6.3.3.2

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{x + x}$

خطوة 6.3.3.3

أضف

$x$ و

$x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$

خطوة 6.3.4

أعِد ترتيب العوامل في

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - e^{2 x}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - e^{2 x}$

خطوة 6.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - e^{2 x} d x$

خطوة 6.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} v = \int - e^{2 x} d x$

خطوة 6.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

بما أن

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، انقُل

$- 1$ خارج التكامل.

$e^{x} v = - \int e^{2 x} d x$

خطوة 6.7.2

لنفترض أن

$u = 2 x$ . إذن

$d u = 2 d x$ ، لذا

$\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

افترض أن

$u = 2 x$ . أوجِد

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1.1

أوجِد مشتقة

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.7.2.1.2

بما أن

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$2 x$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.7.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.7.2.1.4

اضرب

$2$ في

$1$ .

$2$

خطوة 6.7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6.7.3

اجمع

$e^{u}$ و

$\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 6.7.4

بما أن

$\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{x} v = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.7.5

تكامل

$e^{u}$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$e^{u}$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 6.7.6

بسّط.

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

خطوة 6.7.7

استبدِل كافة حالات حدوث

$u$ بـ

$2 x$ .

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

خطوة 6.8

اقسِم كل حد في

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ على

$e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

اقسِم كل حد في

$e^{x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ على

$e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.2.1.2

اقسِم

$v$ على

$1$ .

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ

$e^{2 x}$ و

$e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1.1.1

أخرِج العامل

$e^{x}$ من

$- \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.3.1.1.2.1

اضرب في

$1$ .

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{e^{x} (- \frac{1}{2} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$v = \frac{- \frac{1}{2} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.1.2.4

اقسِم

$- \frac{1}{2} e^{x}$ على

$1$ .

$v = - \frac{1}{2} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 6.8.3.1.2

اجمع

$e^{x}$ و

$\frac{1}{2}$ .

$v = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 7

عوّض بقيمة

$v$ التي تساوي

$y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = - \frac{e^{x}}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

إدخال مسألتك