حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

خطوة 1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

خطوة 1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

خطوة 1.3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

خطوة 1.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اضرب $k$ في $1$ .

$\cos (k x) k$

خطوة 1.3.2.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = k \cos (k x)$

خطوة 2

أوجِد $y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

خطوة 2.2

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k \cos (k x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

خطوة 2.4

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.5

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.6

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

خطوة 2.11

أعِد ترتيب عوامل $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

خطوة 3

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\sin (k x)$ التي تساوي $y$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

خطوة 5.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$- 3 k^{2} y = - y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 3 k^{2} y = - y$ على $- 3 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 k^{2} y = - y$ على $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $k^{2}$ على $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 5.3.3.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

خطوة 5.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

الصيغة العشرية:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

إدخال مسألتك