حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y' = 2 y$ , $y = c e^{2 x}$ , $y (0) = 3$

خطوة 1

تحقق من أن الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

خطوة 1.1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c e^{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$c e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 1.1.3.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $c e^{2 x}$ .

$2 \cdot (c e^{2 x})$

خطوة 1.1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أعِد ترتيب عوامل $2 c e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} c$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x} c$ .

$2 c e^{2 x}$

خطوة 1.1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 c e^{2 x}$

خطوة 1.2

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس.

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

خطوة 1.4

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$y = c e^{2 x}$ تمثل حلاً لـ $y' = 2 y$

خطوة 2

عوّض بالشرط الابتدائي.

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

خطوة 3.2

بسّط $c e^{2 \cdot 0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$c e^{0} = 3$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$c \cdot 1 = 3$

خطوة 3.2.3

اضرب $c$ في $1$ .

$c = 3$

إدخال مسألتك