حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y' = 2 y

$y' = 2 y$ ,

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ ,

y (0) = 3

$y (0) = 3$

خطوة 1

تحقق من أن الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد

y'

$y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (c e^{2 x})$

خطوة 1.1.2

مشتق

y

$y$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

y'

$y'$ .

y'

$y'$

خطوة 1.1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن

c

$c$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]

$c \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ حيث

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ و

g (x) = 2 x

$g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة

u

$u$ لتصبح

2 x

$2 x$ .

c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])

$c (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ حيث

a

$a$ =

e

$e$ .

c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

2 x

$2 x$ .

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])

$c (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بما أن

2

$2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

2 x

$2 x$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])

$c e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

c e^{2 x} (2 \cdot 1)

$c e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.3.1

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

c e^{2 x} \cdot 2

$c e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 1.1.3.3.3.2

انقُل

2

$2$ إلى يسار

c e^{2 x}

$c e^{2 x}$ .

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

2 \cdot (c e^{2 x})

$2 \cdot (c e^{2 x})$

خطوة 1.1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أعِد ترتيب عوامل

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$ .

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$

خطوة 1.1.3.4.2

أعِد ترتيب العوامل في

2 e^{2 x} c

$2 e^{2 x} c$ .

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x}$

خطوة 1.1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

y' = 2 c e^{2 x}

$y' = 2 c e^{2 x}$

خطوة 1.2

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})

$2 c e^{2 x} = 2 (c e^{2 x})$

خطوة 1.3

احذِف الأقواس.

2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}

$2 c e^{2 x} = 2 c e^{2 x}$

خطوة 1.4

الحل المُعطى يستوفي شروط المعادلة التفاضلية المُعطاة.

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ تمثل حلاً لـ

y' = 2 y

$y' = 2 y$

y = c e^{2 x}

$y = c e^{2 x}$ تمثل حلاً لـ

y' = 2 y

$y' = 2 y$

خطوة 2

عوّض بالشرط الابتدائي.

3 = c e^{2 \cdot 0}

$3 = c e^{2 \cdot 0}$

خطوة 3

أوجِد قيمة

c

$c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$ .

c e^{2 \cdot 0} = 3

$c e^{2 \cdot 0} = 3$

خطوة 3.2

بسّط

c e^{2 \cdot 0}

$c e^{2 \cdot 0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب

2

$2$ في

0

$0$ .

c e^{0} = 3

$c e^{0} = 3$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى

0

$0$ هو

1

$1$ .

c \cdot 1 = 3

$c \cdot 1 = 3$

خطوة 3.2.3

اضرب

c

$c$ في

1

$1$ .

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

c = 3

$c = 3$

إدخال مسألتك