حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = e^{t}$ , $y (0) = 1$ , $t = 5$ , $h = 0.5$

خطوة 1

عرّف $f (t, y)$ بحيث يكون $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = e^{t}$

خطوة 2

أوجِد $f (0, 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $1$ عن $y$ .

$f (0, 1) = e^{0}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f (0, 1) = {2.71828182}^{0}$

خطوة 2.2.2

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0$ .

$f (0, 1) = 1$

خطوة 3

استخدم القاعدة التكرارية $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ لإيجاد $y_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض.

$y_{1} = 1 + 0.5 \cdot 1$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب $0.5$ في $1$ .

$y_{1} = 1 + 0.5$

خطوة 3.2.2

أضف $1$ و $0.5$ .

$y_{1} = 1.5$

خطوة 4

استخدم القاعدة التكرارية $t_{1} = t_{0} + h$ لإيجاد $t_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض.

$t_{1} = 0 + 0.5$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $0.5$ .

$t_{1} = 0.5$

خطوة 5

أوجِد $f (0.5, 1.5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بـ $0.5$ عن $t$ وبـ $1.5$ عن $y$ .

$f (0.5, 1.5) = e^{0.5}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f (0.5, 1.5) = {2.71828182}^{0.5}$

خطوة 5.2.2

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.5$ .

$f (0.5, 1.5) = 1.64872127$

خطوة 6

استخدم القاعدة التكرارية $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ لإيجاد $y_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض.

$y_{2} = 1.5 + 0.5 \cdot 1.64872127$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $0.5$ في $1.64872127$ .

$y_{2} = 1.5 + 0.82436063$

خطوة 6.2.2

أضف $1.5$ و $0.82436063$ .

$y_{2} = 2.32436063$

خطوة 7

استخدم القاعدة التكرارية $t_{2} = t_{1} + h$ لإيجاد $t_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض.

$t_{2} = 0.5 + 0.5$

خطوة 7.2

أضف $0.5$ و $0.5$ .

$t_{2} = 1$

خطوة 8

استمر بنفس الطريقة حتى تُقرّب القيم المطلوبة.

خطوة 9

اسرِد التقريبات في جدول.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 1.5 \\ 1 & 2.32436063 \\ 1.5 & 3.68350154 \\ 2 & 5.92434608 \\ 2.5 & 9.61887413 \\ 3 & 15.71012111 \\ 3.5 & 25.75288957 \\ 4 & 42.31061555 \\ 4.5 & 69.60969057 \\ 5 & 114.61825622 \end{array}$

إدخال مسألتك