حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$

خطوة 2

وسّع $\ln ({(\sin (x))}^{\cos (x)})$ بنقل $\cos (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\cos (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\sin (x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.4

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.6

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.7

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{y'}{y} = {\cos (x)}^{1 + 1} \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.2.10

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) + \ln (\sin (x)) (- \sin (x))$

خطوة 3.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \csc (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.11.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{y'}{y} = \cos^{2} (x) \frac{1}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.2.2

اجمع $\cos^{2} (x)$ و $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.11.3.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.3.2

افصِل الكسور.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.3.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 3.2.11.3.4

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = (\cos (x) \cot (x) - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$y' = (\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.1.2

اضرب $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$y' = (\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.1.2.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = (\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$y' = (\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x))) {(\sin (x))}^{\cos (x)}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} {\sin (x)}^{\cos (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ و ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - \sin (x) \ln (\sin (x)) {\sin (x)}^{\cos (x)}$

خطوة 5.4

اضرب $\sin (x)$ في ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin (x)) \ln (\sin (x))$

خطوة 5.4.2

اضرب ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - ({\sin (x)}^{\cos (x)} \sin^{1} (x)) \ln (\sin (x))$

خطوة 5.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.5

احذِف العامل المشترك لـ ${\sin (x)}^{\cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x)}$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x)} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اضرب في $1$ .

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{\sin (x) (\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1})}{\sin (x) \cdot 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}}{1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.5.2.4

اقسِم $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1}$ على $1$ .

$y' = \cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

خطوة 5.6

أعِد ترتيب العوامل في $\cos^{2} (x) {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$ .

$y' = {\sin (x)}^{\cos (x) - 1} \cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{\cos (x) + 1} \ln (\sin (x))$

إدخال مسألتك