حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + y^{4} = 4 + 2 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y^{4}) = \frac{d}{d y} (4 + 2 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x^{2}$ و $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 4 y^{3}$

خطوة 2.3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + 2 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 x]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$0 + 2 x'$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $2 x'$ .

$2 x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' = 2 x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 x'$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} + x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $4 y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3}$

خطوة 5.2.2

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y x' - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 x'$ من $2 x y x' - 2 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 x'$ من $2 x y x'$ .

$2 x' (x y) - 2 x' = - 4 y^{3} - x^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 x'$ من $- 2 x'$ .

$2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1 = - 4 y^{3} - x^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 x'$ من $2 x' (x y) + 2 x' \cdot - 1$ .

$2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ على $2 (x y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 x' (x y - 1) = - 4 y^{3} - x^{2}$ على $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3}}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{2 (- 2 y^{3})}{2 (x y - 1)} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{- 2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} + \frac{- x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.2

لكتابة $- \frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3}}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x y - 1) \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

اضرب $\frac{2 y^{3}}{x y - 1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x y - 1) \cdot 2$ .

$x' = - \frac{2 y^{3} \cdot 2}{2 (x y - 1)} - \frac{x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- 2 y^{3} \cdot 2 - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.5

اضرب $2$ في $- 2$ .

$x' = \frac{- 4 y^{3} - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 y^{3}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3}) - (x^{2})}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 y^{3}) - (x^{2})$ .

$x' = \frac{- (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.9.1

أعِد كتابة $- (4 y^{3} + x^{2})$ بالصيغة $- 1 (4 y^{3} + x^{2})$ .

$x' = \frac{- 1 (4 y^{3} + x^{2})}{2 (x y - 1)}$

خطوة 5.4.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{4 y^{3} + x^{2}}{2 (x y - 1)}$

إدخال مسألتك