حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y = x^{2}

$y = x^{2}$ ,

y = x

$y = x$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها

f (x)

$f (x)$ و

A = π r^{2}

$A = π r^{2}$ .

V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث

f (x) = x

$f (x) = x$ و

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2

اضرب

2

$2$ في

2

$2$ .

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

V = x^{2} - x^{4}

$V = x^{2} - x^{4}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x^{2}

$x^{2}$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 5

اجمع

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ و

x^{3}

$x^{3}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 6

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x^{4}

$x^{4}$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{1}{5} x^{5}

$\frac{1}{5} x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ و

x^{5}

$x^{5}$ .

V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة

$\frac{x^{3}}{3}$ في

$1$ وفي

$0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة

$\frac{x^{5}}{5}$ في

$1$ وفي

$0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.2

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.3.1

أخرِج العامل

$3$ من

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.3.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$3$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.4

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.5

أضف

$\frac{1}{3}$ و

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.7

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

خطوة 8.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.8.1

أخرِج العامل

$5$ من

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

خطوة 8.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.8.2.1

أخرِج العامل

$5$ من

$5$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

خطوة 8.2.3.9

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

خطوة 8.2.3.10

أضف

$\frac{1}{5}$ و

$0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

خطوة 8.2.3.11

لكتابة

$\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

خطوة 8.2.3.12

لكتابة

$- \frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك

$15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.13.1

اضرب

$\frac{1}{3}$ في

$\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13.2

اضرب

$3$ في

$5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13.3

اضرب

$\frac{1}{5}$ في

$\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

خطوة 8.2.3.13.4

اضرب

$5$ في

$3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

خطوة 8.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

خطوة 8.2.3.15

اطرح

$3$ من

$5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

خطوة 8.2.3.16

اجمع

$π$ و

$\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

خطوة 8.2.3.17

انقُل

$2$ إلى يسار

$π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{2 π}{15}$

الصيغة العشرية:

$V = 0.41887902 \dots$

خطوة 10

إدخال مسألتك