حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2}$ , $y = x$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = x^{2} - x^{4}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

خطوة 8.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.5

أضف $\frac{1}{3}$ و $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 8.2.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

خطوة 8.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.8.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

خطوة 8.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

خطوة 8.2.3.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

خطوة 8.2.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

خطوة 8.2.3.10

أضف $\frac{1}{5}$ و $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

خطوة 8.2.3.11

لكتابة $\frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

خطوة 8.2.3.12

لكتابة $- \frac{1}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.13.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13.2

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 8.2.3.13.3

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

خطوة 8.2.3.13.4

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

خطوة 8.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

خطوة 8.2.3.15

اطرح $3$ من $5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

خطوة 8.2.3.16

اجمع $π$ و $\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

خطوة 8.2.3.17

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{2 π}{15}$

الصيغة العشرية:

$V = 0.41887902 \dots$

خطوة 10

إدخال مسألتك