حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

خطوة 1

جذر متوسط المربع للدالة $f$ على مدى الفترة المحددة $[a, b]$ هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي (المتوسط) لمربعات القيم الأصلية.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

خطوة 2

عوّض بالقيم الفعلية في صيغة جذر متوسط المربع لدالة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لنفترض أن $u = x - 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

افترض أن $u = x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

خطوة 3.1.3

اطرح $2$ من $2$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

خطوة 3.1.5

اطرح $2$ من $7$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 3.1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

خطوة 3.1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

خطوة 3.3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $5$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 3.3.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $125$ .

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 3.3.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

خطوة 3.3.2.5

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125}{3} + 0$

خطوة 3.3.2.6

أضف $\frac{125}{3}$ و $0$ .

$\frac{125}{3}$

خطوة 4

بسّط قاعدة جذر متوسط المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{7 - 2}$ في $\frac{125}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

خطوة 4.2

اطرح $2$ من $7$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

خطوة 4.3

اختزِل العبارة $\frac{125}{5 \cdot 3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $5$ من $125$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{25}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.6

اضرب $\frac{5}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

الصيغة العشرية:

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

خطوة 6

إدخال مسألتك