حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - 2$ ,

$(1, 3)$

خطوة 1

جذر متوسط المربع للدالة

$f$ على مدى الفترة المحددة

$[a, b]$ هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي (المتوسط) لمربعات القيم الأصلية.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

خطوة 2

عوّض بالقيم الفعلية في صيغة جذر متوسط المربع لدالة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لنفترض أن

$u = 4 x - 2$ . إذن

$d u = 4 d x$ ، لذا

$\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام

$u$ و

$d$

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

افترض أن

$u = 4 x - 2$ . أوجِد

$\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أوجِد مشتقة

$4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

خطوة 3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

$4 x - 2$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3

احسِب قيمة

$\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

بما أن

$4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$4 x$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.3.3

اضرب

$4$ في

$1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.1

بما أن

$- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، فإن مشتق

$- 2$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$0$ .

$4 + 0$

خطوة 3.1.1.4.2

أضف

$4$ و

$0$ .

$4$

خطوة 3.1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن

$x$ في

$u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

خطوة 3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اضرب

$4$ في

$1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

خطوة 3.1.3.2

اطرح

$2$ من

$4$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 3.1.4

عوّض بالنهاية العليا عن

$x$ في

$u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

خطوة 3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب

$4$ في

$3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

خطوة 3.1.5.2

اطرح

$2$ من

$12$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ

$u_{lower}$ و

$u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام

$u$ و

$d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

خطوة 3.2

اجمع

$u^{2}$ و

$\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 3.3

بما أن

$\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$u$ ، انقُل

$\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

$u^{2}$ بالنسبة إلى

$u$ هو

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

خطوة 3.5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسِب قيمة

$\frac{1}{3} u^{3}$ في

$10$ وفي

$2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع

$10$ إلى القوة

$3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2.2

اجمع

$\frac{1}{3}$ و

$1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 3.5.2.3

ارفع

$2$ إلى القوة

$3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

خطوة 3.5.2.4

اضرب

$8$ في

$- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

خطوة 3.5.2.5

اجمع

$- 8$ و

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

خطوة 3.5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

خطوة 3.5.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

خطوة 3.5.2.8

اطرح

$8$ من

$1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

خطوة 3.5.2.9

اضرب

$\frac{1}{4}$ في

$\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.10

اضرب

$4$ في

$3$ .

$\frac{992}{12}$

خطوة 3.5.2.11

احذِف العامل المشترك لـ

$992$ و

$12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.1

أخرِج العامل

$4$ من

$992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

خطوة 3.5.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.11.2.1

أخرِج العامل

$4$ من

$12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{248}{3}$

خطوة 4

بسّط قاعدة جذر متوسط المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب

$\frac{1}{3 - 1}$ في

$\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

خطوة 4.2

اطرح

$1$ من

$3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3

اختزِل العبارة

$\frac{248}{2 \cdot 3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل

$2$ من

$248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل

$2$ من

$2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ بالصيغة

$\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة

$124$ بالصيغة

$2^{2} \cdot 31$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أخرِج العامل

$4$ من

$124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.1.2

أعِد كتابة

$4$ بالصيغة

$2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.6

اضرب

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ في

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

ارفع

$\sqrt{3}$ إلى القوة

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.3

ارفع

$\sqrt{3}$ إلى القوة

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.4

استخدِم قاعدة القوة

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.7.5

أضف

$1$ و

$1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.7.6

أعِد كتابة

${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.1

استخدِم

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

$\sqrt{3}$ في صورة

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس،

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.7.6.3

اجمع

$\frac{1}{2}$ و

$2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

خطوة 4.8.2

اضرب

$3$ في

$31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

الصيغة العشرية:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

خطوة 6

إدخال مسألتك