حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

خطوة 1

جذر متوسط المربع للدالة $f$ على مدى الفترة المحددة $[a, b]$ هو الجذر التربيعي للمتوسط الحسابي (المتوسط) لمربعات القيم الأصلية.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

خطوة 2

عوّض بالقيم الفعلية في صيغة جذر متوسط المربع لدالة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة التكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لنفترض أن $u = 5 x + 5$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

افترض أن $u = 5 x + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

خطوة 3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 3.1.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 3.1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

خطوة 3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$u_{lower} = - 5 + 5$

خطوة 3.1.3.2

أضف $- 5$ و $5$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

خطوة 3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

اضرب $5$ في $1$ .

$u_{upper} = 5 + 5$

خطوة 3.1.5.2

أضف $5$ و $5$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

خطوة 3.1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

خطوة 3.2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

خطوة 3.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

خطوة 3.5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $10$ وفي $0$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 3.5.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $1000$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 3.5.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

خطوة 3.5.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

خطوة 3.5.2.5

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

خطوة 3.5.2.6

أضف $\frac{1000}{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

خطوة 3.5.2.7

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1000}{3}$ .

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.8

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{1000}{15}$

خطوة 3.5.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $1000$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.9.1

أخرِج العامل $5$ من $1000$ .

$\frac{5 (200)}{15}$

خطوة 3.5.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.9.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{200}{3}$

خطوة 4

بسّط قاعدة جذر متوسط المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{1 + 1}$ في $\frac{200}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

خطوة 4.2

أضف $1$ و $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3

اختزِل العبارة $\frac{200}{2 \cdot 3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $200$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{100}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.6

اضرب $\frac{10}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $\frac{10}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

الصيغة العشرية:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

خطوة 6

إدخال مسألتك