حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y = x^{2} - 5 x

$y = x^{2} - 5 x$ ,

y = 3 x

$y = 3 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

x^{2} - 5 x = 3 x

$x^{2} - 5 x = 3 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

x^{2} - 5 x = 3 x

$x^{2} - 5 x = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على

x

$x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح

3 x

$3 x$ من كلا المتعادلين.

x^{2} - 5 x - 3 x = 0

$x^{2} - 5 x - 3 x = 0$

خطوة 1.2.1.2

اطرح

3 x

$3 x$ من

- 5 x

$- 5 x$ .

x^{2} - 8 x = 0

$x^{2} - 8 x = 0$

x^{2} - 8 x = 0

$x^{2} - 8 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل

x

$x$ من

x^{2} - 8 x

$x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل

x

$x$ من

x^{2}

$x^{2}$ .

x \cdot x - 8 x = 0

$x \cdot x - 8 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل

x

$x$ من

- 8 x

$- 8 x$ .

x \cdot x + x \cdot - 8 = 0

$x \cdot x + x \cdot - 8 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل

x

$x$ من

x \cdot x + x \cdot - 8

$x \cdot x + x \cdot - 8$ .

x (x - 8) = 0

$x (x - 8) = 0$

x (x - 8) = 0

$x (x - 8) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x - 8 = 0 + y = 3 x

$x - 8 = 0 + y = 3 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة

x

$x$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة

x - 8

$x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة

x - 8

$x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف

8

$8$ إلى كلا المتعادلين.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

x (x - 8) = 0

$x (x - 8) = 0$ صحيحة.

x = 0, 8

$x = 0, 8$

x = 0, 8

$x = 0, 8$

خطوة 1.3

احسِب قيمة

y

$y$ عندما تكون

x = 0

$x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة

x

$x$ التي تساوي

0

$0$ .

y = 3 (0)

$y = 3 (0)$

خطوة 1.3.2

اضرب

3

$3$ في

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة

y

$y$ عندما تكون

x = 8

$x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة

x

$x$ التي تساوي

8

$8$ .

y = 3 (8)

$y = 3 (8)$

خطوة 1.4.2

اضرب

3

$3$ في

8

$8$ .

y = 24

$y = 24$

y = 24

$y = 24$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

(0, 0)

$(0, 0)$

(8, 24)

$(8, 24)$

(0, 0)

$(0, 0)$

(8, 24)

$(8, 24)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

A r e a = \int_{0}^{8} 3 x d x - \int_{0}^{8} x^{2} - 5 x d x

$A r e a = \int_{0}^{8} 3 x d x - \int_{0}^{8} x^{2} - 5 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين

0

$0$ و

8

$8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

\int_{0}^{8} 3 x - (x^{2} - 5 x) d x

$\int_{0}^{8} 3 x - (x^{2} - 5 x) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

3 x - x^{2} - (- 5 x)

$3 x - x^{2} - (- 5 x)$

خطوة 3.2.2

اضرب

- 5

$- 5$ في

- 1

$- 1$ .

3 x - x^{2} + 5 x

$3 x - x^{2} + 5 x$

\int_{0}^{8} 3 x - x^{2} + 5 x d x

$\int_{0}^{8} 3 x - x^{2} + 5 x d x$

خطوة 3.3

أضف

3 x

$3 x$ و

5 x

$5 x$ .

\int_{0}^{8} - x^{2} + 8 x d x

$\int_{0}^{8} - x^{2} + 8 x d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

\int_{0}^{8} - x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x

$\int_{0}^{8} - x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.5

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

- \int_{0}^{8} x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x

$- \int_{0}^{8} x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x^{2}

$x^{2}$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{1}{3} x^{3}

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.7

اجمع

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ و

x^{3}

$x^{3}$ .

- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.8

بما أن

8

$8$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

8

$8$ خارج التكامل.

- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 \int_{0}^{8} x d x

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 \int_{0}^{8} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x

$x$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{8})

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

x^{2}

$x^{2}$ .

- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة

\frac{x^{3}}{3}

$\frac{x^{3}}{3}$ في

8

$8$ وفي

0

$0$ .

- ((\frac{8^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})

$- ((\frac{8^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة

$\frac{x^{2}}{2}$ في

$8$ وفي

$0$ .

$- (\frac{8^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

ارفع

$8$ إلى القوة

$3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.1

أخرِج العامل

$3$ من

$0$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل

$3$ من

$3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$- (\frac{512}{3} - 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$- (\frac{512}{3} + 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

أضف

$\frac{512}{3}$ و

$0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

ارفع

$8$ إلى القوة

$2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{64}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ

$64$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.7.1

أخرِج العامل

$2$ من

$64$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.7.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{32}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.4

اقسِم

$32$ على

$1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ

$0$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.1

أخرِج العامل

$2$ من

$0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.4

اقسِم

$0$ على

$1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - 0)$

خطوة 3.10.2.3.10

اضرب

$- 1$ في

$0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 + 0)$

خطوة 3.10.2.3.11

أضف

$32$ و

$0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 \cdot 32$

خطوة 3.10.2.3.12

اضرب

$8$ في

$32$ .

$- \frac{512}{3} + 256$

خطوة 3.10.2.3.13

لكتابة

$256$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 256 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.14

اجمع

$256$ و

$\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{256 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 512 + 256 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.16.1

اضرب

$256$ في

$3$ .

$\frac{- 512 + 768}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16.2

أضف

$- 512$ و

$768$ .

$\frac{256}{3}$

خطوة 4

إدخال مسألتك