حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 5 x$ , $y = 3 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 5 x = 3 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 5 x = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 5 x - 3 x = 0$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $3 x$ من $- 5 x$ .

$x^{2} - 8 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \cdot x - 8 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 8 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 8$ .

$x (x - 8) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0 + y = 3 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 8$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 3 (0)$

خطوة 1.3.2

اضرب $3$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ .

$y = 3 (8)$

خطوة 1.4.2

اضرب $3$ في $8$ .

$y = 24$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(8, 24)$

$(0, 0)$

$(8, 24)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{8} 3 x d x - \int_{0}^{8} x^{2} - 5 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{8} 3 x - (x^{2} - 5 x) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x - x^{2} - (- 5 x)$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$3 x - x^{2} + 5 x$

$\int_{0}^{8} 3 x - x^{2} + 5 x d x$

خطوة 3.3

أضف $3 x$ و $5 x$ .

$\int_{0}^{8} - x^{2} + 8 x d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{8} - x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{8} x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

خطوة 3.8

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 \int_{0}^{8} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $8$ وفي $0$ .

$- ((\frac{8^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $8$ وفي $0$ .

$- (\frac{8^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{512}{3} - 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{512}{3} + 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

أضف $\frac{512}{3}$ و $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{64}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $64$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{32}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7.2.4

اقسِم $32$ على $1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{1})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - 0)$

خطوة 3.10.2.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 + 0)$

خطوة 3.10.2.3.11

أضف $32$ و $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 \cdot 32$

خطوة 3.10.2.3.12

اضرب $8$ في $32$ .

$- \frac{512}{3} + 256$

خطوة 3.10.2.3.13

لكتابة $256$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 256 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.14

اجمع $256$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{256 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 512 + 256 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.16.1

اضرب $256$ في $3$ .

$\frac{- 512 + 768}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16.2

أضف $- 512$ و $768$ .

$\frac{256}{3}$

خطوة 4

إدخال مسألتك