حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y = x^{2} - 5 x + 6

$y = x^{2} - 5 x + 6$ ,

y = x - 2

$y = x - 2$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

x^{2} - 5 x + 6 = x - 2

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

x^{2} - 5 x + 6 = x - 2

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على

x

$x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح

x

$x$ من كلا المتعادلين.

x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

خطوة 1.2.1.2

اطرح

x

$x$ من

- 5 x

$- 5 x$ .

x^{2} - 6 x + 6 = - 2

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

x^{2} - 6 x + 6 = - 2

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

خطوة 1.2.2

أضف

2

$2$ إلى كلا المتعادلين.

x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف

6

$6$ و

2

$2$ .

x^{2} - 6 x + 8 = 0

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل

x^{2} - 6 x + 8

$x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما

c

$c$ ومجموعهما

b

$b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما

8

$8$ ومجموعهما

- 6

$- 6$ .

- 4, - 2 + y = x - 2

$- 4, - 2 + y = x - 2$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

(x - 4) (x - 2) = 0

$(x - 4) (x - 2) = 0$

(x - 4) (x - 2) = 0

$(x - 4) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

x - 2 = 0 + y = x - 2

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة

x - 4

$x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة

x - 4

$x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x - 4 = 0

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف

4

$4$ إلى كلا المتعادلين.

x = 4

$x = 4$

x = 4

$x = 4$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة

x - 2

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة

x - 2

$x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أضف

2

$2$ إلى كلا المتعادلين.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

(x - 4) (x - 2) = 0

$(x - 4) (x - 2) = 0$ صحيحة.

x = 4, 2

$x = 4, 2$

x = 4, 2

$x = 4, 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة

y

$y$ عندما تكون

x = 4

$x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة

x

$x$ التي تساوي

4

$4$ .

y = (4) - 2

$y = (4) - 2$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ

4

$4$ عن

x

$x$ في

y = (4) - 2

$y = (4) - 2$ وأوجِد قيمة

y

$y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

y = 4 - 2

$y = 4 - 2$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

y = (4) - 2

$y = (4) - 2$

خطوة 1.3.2.3

اطرح

2

$2$ من

4

$4$ .

y = 2

$y = 2$

y = 2

$y = 2$

y = 2

$y = 2$

خطوة 1.4

احسِب قيمة

y

$y$ عندما تكون

x = 2

$x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة

x

$x$ التي تساوي

2

$2$ .

y = (2) - 2

$y = (2) - 2$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ

2

$2$ عن

x

$x$ في

y = (2) - 2

$y = (2) - 2$ وأوجِد قيمة

y

$y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

y = 2 - 2

$y = 2 - 2$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

y = (2) - 2

$y = (2) - 2$

خطوة 1.4.2.3

اطرح

2

$2$ من

2

$2$ .

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

(4, 2)

$(4, 2)$

(2, 0)

$(2, 0)$

(4, 2)

$(4, 2)$

(2, 0)

$(2, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين

2

$2$ و

4

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب

- 5

$- 5$ في

- 1

$- 1$ .

x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

خطوة 3.2.2.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

6

$6$ .

x - 2 - x^{2} + 5 x - 6

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

x - 2 - x^{2} + 5 x - 6

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف

x

$x$ و

5 x

$5 x$ .

6 x - 2 - x^{2} - 6

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

خطوة 3.3.2

اطرح

6

$6$ من

- 2

$- 2$ .

6 x - x^{2} - 8

$6 x - x^{2} - 8$

\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.5

بما أن

6

$6$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

6

$6$ خارج التكامل.

6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x

$x$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{1}{2} x^{2}

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.7

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

x^{2}

$x^{2}$ .

6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.8

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، انقُل

- 1

$- 1$ خارج التكامل.

6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل

x^{2}

$x^{2}$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.10

اجمع

$\frac{1}{3}$ و

$x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

خطوة 3.11

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

احسِب قيمة

$\frac{x^{2}}{2}$ في

$4$ وفي

$2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12.2

احسِب قيمة

$\frac{x^{3}}{3}$ في

$4$ وفي

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

خطوة 3.12.3

احسِب قيمة

$- 8 x$ في

$4$ وفي

$2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

ارفع

$4$ إلى القوة

$2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2

احذِف العامل المشترك لـ

$16$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2.2.4

اقسِم

$8$ على

$1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.3

ارفع

$2$ إلى القوة

$2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4

احذِف العامل المشترك لـ

$4$ و

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.4.1

أخرِج العامل

$2$ من

$4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.4.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4.2.4

اقسِم

$2$ على

$1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.5

اضرب

$- 1$ في

$2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6

اطرح

$2$ من

$8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.7

اضرب

$6$ في

$6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8

ارفع

$4$ إلى القوة

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.9

ارفع

$2$ إلى القوة

$3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.11

اطرح

$8$ من

$64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.12

لكتابة

$36$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.13

اجمع

$36$ و

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.15.1

اضرب

$36$ في

$3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15.2

اطرح

$56$ من

$108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.16

اضرب

$- 8$ في

$4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.17

اضرب

$8$ في

$2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

خطوة 3.12.4.18

أضف

$- 32$ و

$16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

خطوة 3.12.4.19

لكتابة

$- 16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.12.4.20

اجمع

$- 16$ و

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.22.1

اضرب

$- 16$ في

$3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

خطوة 3.12.4.22.2

اطرح

$48$ من

$52$ .

$\frac{4}{3}$

خطوة 4

إدخال مسألتك