حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ ,

(1, 16)

$(1, 16)$

خطوة 1

اكتب

y = {(x + 3)}^{2}

$y = {(x + 3)}^{2}$ في صورة دالة.

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$ عند

x = 1

$x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

1

$1$ في العبارة.

f (1) = {((1) + 3)}^{2}

$f (1) = {((1) + 3)}^{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أضف

1

$1$ و

3

$3$ .

f (1) = 4^{2}

$f (1) = 4^{2}$

خطوة 2.1.2.2

ارفع

4

$4$ إلى القوة

2

$2$ .

f (1) = 16

$f (1) = 16$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي

16

$16$ .

16

$16$

16

$16$

16

$16$

خطوة 2.2

بما أن

16 = 16

$16 = 16$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 3

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

m

$m$

=

$=$ مشتق

f (x) = {(x + 3)}^{2}

$f (x) = {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 5

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة الدالة في

$x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = {((x + h) + 3)}^{2}$

خطوة 5.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أعِد كتابة

${(x + h + 3)}^{2}$ بالصيغة

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ .

$f (x + h) = (x + h + 3) (x + h + 3)$

خطوة 5.1.2.2

وسّع

$(x + h + 3) (x + h + 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

اضرب

$x$ في

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 3 + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.2

انقُل

$3$ إلى يسار

$x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.3

اضرب

$h$ في

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + h \cdot 3 + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.4

انقُل

$3$ إلى يسار

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 \cdot h + 3 x + 3 h + 3 \cdot 3$

خطوة 5.1.2.3.5

اضرب

$3$ في

$3$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + 3 x + h x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.4

أضف

$x h$ و

$h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.4.1

أعِد ترتيب

$x$ و

$h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.4.2

أضف

$h x$ و

$h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 3 x + h^{2} + 3 h + 3 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.5

أضف

$3 x$ و

$3 x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 3 h + 6 x + 3 h + 9$

خطوة 5.1.2.6

أضف

$3 h$ و

$3 h$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.1.2.7

الإجابة النهائية هي

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل

$x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.2.2

أعِد ترتيب

$2 h x$ و

$h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

خطوة 5.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9$

خطوة 6

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - (x^{2} + 6 x + 9)}{h}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9}{h}$

خطوة 7.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب

$6$ في

$- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9}{h}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب

$- 1$ في

$9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 6 h + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.3

اطرح

$x^{2}$ من

$x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 + 0 - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.4

أضف

$h^{2}$ و

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 6 x + 9 - 6 x - 9}{h}$

خطوة 7.1.5

اطرح

$6 x$ من

$6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0 + 9 - 9}{h}$

خطوة 7.1.6

أضف

$h^{2}$ و

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 9 - 9}{h}$

خطوة 7.1.7

اطرح

$9$ من

$9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h + 0}{h}$

خطوة 7.1.8

أضف

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ و

$0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9

أخرِج العامل

$h$ من

$h^{2} + 2 h x + 6 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.9.1

أخرِج العامل

$h$ من

$h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9.2

أخرِج العامل

$h$ من

$2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + 6 h}{h}$

خطوة 7.1.9.3

أخرِج العامل

$h$ من

$6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 6}{h}$

خطوة 7.1.9.4

أخرِج العامل

$h$ من

$h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot 6}{h}$

خطوة 7.1.9.5

أخرِج العامل

$h$ من

$h (h + 2 x) + h \cdot 6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

خطوة 7.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x + 6)}{h}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم

$h + 2 x + 6$ على

$1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x + 6$

خطوة 7.2.2

أعِد ترتيب

$h$ و

$2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h + 6$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب

$h$ من

$0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد

$2 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$h$ من

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 6$

خطوة 8.3

احسِب قيمة حد

$6$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$h$ من

$0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h + 6$

خطوة 9

احسِب قيمة حد

$h$ بالتعويض عن

$h$ بـ

$0$ .

$2 x + 0 + 6$

خطوة 10

أضف

$2 x$ و

$0$ .

$2 x + 6$

خطوة 11

بسّط

$2 (1) + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب

$2$ في

$1$ .

$m = 2 + 6$

خطوة 11.2

أضف

$2$ و

$6$ .

$m = 8$

خطوة 12

الميل هو

$m = 8$ والنقطة هي

$(1, 16)$ .

$m = 8, (1, 16)$

خطوة 13

أوجِد قيمة

$b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد

$b$ .

$y = m x + b$

خطوة 13.2

عوّض بقيمة

$m$ في المعادلة.

$y = (8) \cdot x + b$

خطوة 13.3

عوّض بقيمة

$x$ في المعادلة.

$y = (8) \cdot (1) + b$

خطوة 13.4

عوّض بقيمة

$y$ في المعادلة.

$16 = (8) \cdot (1) + b$

خطوة 13.5

أوجِد قيمة

$b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

$(8) \cdot (1) + b = 16$ .

$(8) \cdot (1) + b = 16$

خطوة 13.5.2

اضرب

$8$ في

$1$ .

$8 + b = 16$

خطوة 13.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على

$b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.3.1

اطرح

$8$ من كلا المتعادلين.

$b = 16 - 8$

خطوة 13.5.3.2

اطرح

$8$ من

$16$ .

$b = 8$

خطوة 14

بما أن قيم

$m$ (الميل) و

$b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في

$y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = 8 x + 8$

خطوة 15

إدخال مسألتك