حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

خطوة 1

اكتب $y = 3 x^{2} + 3 x$ في صورة دالة.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

خطوة 2

تحقق مما إذا كانت النقطة المُعطاة موجودة على الرسم البياني للدالة المُعطاة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$ عند $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 3 (1)$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 3 (1)$

خطوة 2.1.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 + 3 (1)$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 + 3$

خطوة 2.1.2.2

أضف $3$ و $3$ .

$f (1) = 6$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 2.2

بما أن $6 = 6$ ، إذن النقطة موجودة على الرسم البياني.

النقطة موجودة على الرسم البياني

خطوة 3

ميل خط المماس هو مشتق العبارة.

$m$ $=$ مشتق $f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

خطوة 4

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 5

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

أعِد كتابة ${(x + h)}^{2}$ بالصيغة $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.2

وسّع $(x + h) (x + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3.2

أضف $x h$ و $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.3.2.1

أعِد ترتيب $x$ و $h$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.3.2.2

أضف $h x$ و $h x$ .

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.5

اضرب $2$ في $3$ .

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

خطوة 5.1.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

خطوة 5.1.2.2

الإجابة النهائية هي $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

خطوة 5.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

انقُل $3 x$ .

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

خطوة 5.2.2

انقُل $3 x^{2}$ .

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $6 h x$ و $3 h^{2}$ .

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

خطوة 5.3

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

خطوة 6

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

خطوة 7.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

خطوة 7.1.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

خطوة 7.1.4

اطرح $3 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

خطوة 7.1.5

أضف $3 h^{2}$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

خطوة 7.1.6

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

خطوة 7.1.7

أضف $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8.2

أخرِج العامل $3 h$ من $6 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

خطوة 7.1.8.3

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

خطوة 7.1.8.4

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

خطوة 7.1.8.5

أخرِج العامل $3 h$ من $3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

خطوة 7.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $3 (h + 2 x + 1)$ على $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

خطوة 7.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

خطوة 7.3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب $3 h$ و $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد $6 x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

خطوة 8.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

خطوة 8.4

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h + 3$

خطوة 9

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$6 x + 3 \cdot 0 + 3$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $3$ في $0$ .

$6 x + 0 + 3$

خطوة 10.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$6 x + 3$

خطوة 11

بسّط $6 (1) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $6$ في $1$ .

$m = 6 + 3$

خطوة 11.2

أضف $6$ و $3$ .

$m = 9$

خطوة 12

الميل هو $m = 9$ والنقطة هي $(1, 6)$ .

$m = 9, (1, 6)$

خطوة 13

أوجِد قيمة $b$ باستخدام قاعدة معادلة الخط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استخدِم قاعدة معادلة الخط المستقيم لإيجاد $b$ .

$y = m x + b$

خطوة 13.2

عوّض بقيمة $m$ في المعادلة.

$y = (9) \cdot x + b$

خطوة 13.3

عوّض بقيمة $x$ في المعادلة.

$y = (9) \cdot (1) + b$

خطوة 13.4

عوّض بقيمة $y$ في المعادلة.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

خطوة 13.5

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $(9) \cdot (1) + b = 6$ .

$(9) \cdot (1) + b = 6$

خطوة 13.5.2

اضرب $9$ في $1$ .

$9 + b = 6$

خطوة 13.5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $b$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.3.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$b = 6 - 9$

خطوة 13.5.3.2

اطرح $9$ من $6$ .

$b = - 3$

خطوة 14

بما أن قيم $m$ (الميل) و $b$ (نقطة التقاطع مع المحور الصادي) أصبحت معروفة الآن، فعوّض بها في $y = m x + b$ لإيجاد معادلة الخط المستقيم.

$y = 9 x - 3$

خطوة 15

إدخال مسألتك