حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} - 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{2} - 10 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 10$ في $1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $30 x - 10$ .

$30 x - 10$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $30 x - 10 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$30 x - 10 = 0$

خطوة 2.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$30 x = 10$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $30 x = 10$ على $30$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $30 x = 10$ على $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{10}{30}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $10$ من $10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $10$ من $30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{1}{3}$ في $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اجمع $5$ و $\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

خطوة 3.1.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

خطوة 3.1.2.1.8

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

خطوة 3.1.2.1.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $- \frac{5}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.1.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $27$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $\frac{5}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

خطوة 3.1.2.3.2

اضرب $9$ في $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $- 5$ في $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

خطوة 3.1.2.5.2

اطرح $15$ من $5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{1}{3}$ في $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ هي $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{1}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.2\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $30$ في $0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

خطوة 5.2.2

اطرح $10$ من $7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $0.2\overline{3}$ يساوي $- 3$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, \frac{1}{3})$

تناقص خلال $(- \infty, \frac{1}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{1}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.4\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $30$ في $0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

خطوة 6.2.2

اطرح $10$ من $13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.3

في $0.4\overline{3}$ ، المشتق الثاني هو $3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(\frac{1}{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{1}{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

خطوة 8

إدخال مسألتك