حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{5} - 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 x^{4} + 0$

خطوة 1.1.4

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3})$

خطوة 1.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $20 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$20 x^{3} = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في $20 x^{3} = 0$ على $20$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في $20 x^{3} = 0$ على $20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم $x^{3}$ على $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم $0$ على $20$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.4

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = x^{5} - 4$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4$

خطوة 3.1.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$f (0) = - 4$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = x^{5} - 4$ هي $(0, - 4)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, - 4)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

خطوة 5.2.2

اضرب $20$ في $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.02$ .

$- 0.02$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 0.02$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

خطوة 6.2.2

اضرب $20$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.02$ .

$0.02$

خطوة 6.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.02$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(0, - 4)$ .

$(0, - 4)$

خطوة 8

إدخال مسألتك