حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

f (x) = x^{5} - 4

$f (x) = x^{5} - 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

x^{5} - 4

$x^{5} - 4$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 5

$n = 5$ .

5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3

بما أن

- 4

$- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، فإن مشتق

- 4

$- 4$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

0

$0$ .

5 x^{4} + 0

$5 x^{4} + 0$

خطوة 1.1.4

أضف

5 x^{4}

$5 x^{4}$ و

0

$0$ .

$f' (x) = 5 x^{4}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن

$5$ عدد ثابت بالنسبة إلى

$x$ ، إذن مشتق

$5 x^{4}$ بالنسبة إلى

$x$ يساوي

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

$n x^{n - 1}$ حيث

$n = 4$ .

$5 (4 x^{3})$

خطوة 1.2.3

اضرب

$4$ في

$5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ

$f (x)$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ ثم حل المعادلة

$20 x^{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$20 x^{3} = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في

$20 x^{3} = 0$ على

$20$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في

$20 x^{3} = 0$ على

$20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم

$x^{3}$ على

$1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم

$0$ على

$20$ .

$x^{3} = 0$

خطوة 2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 2.4

بسّط

$\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة

$0$ بالصيغة

$0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة

$0$ في

$f (x) = x^{5} - 4$ لإيجاد قيمة

$y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4$

خطوة 3.1.2.2

اطرح

$4$ من

$0$ .

$f (0) = - 4$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي

$- 4$ .

$- 4$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ

$0$ في

$f (x) = x^{5} - 4$ هي

$(0, - 4)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, - 4)$

خطوة 4

قسّم

$(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة

$(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع

$- 0.1$ إلى القوة

$3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

خطوة 5.2.2

اضرب

$20$ في

$- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي

$- 0.02$ .

$- 0.02$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند

$- 0.1$ يساوي

$- 0.02$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة

$(- \infty, 0)$

تناقص خلال

$(- \infty, 0)$ حيث إن

$f'' (x) < 0$

تناقص خلال

$(- \infty, 0)$ حيث إن

$f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة

$(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع

$0.1$ إلى القوة

$3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

خطوة 6.2.2

اضرب

$20$ في

$0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي

$0.02$ .

$0.02$

خطوة 6.3

في

$0.1$ ، المشتق الثاني هو

$0.02$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة

$(0, \infty)$ .

تزايد خلال

$(0, \infty)$ نظرًا إلى أن

$f'' (x) > 0$

تزايد خلال

$(0, \infty)$ نظرًا إلى أن

$f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي

$(0, - 4)$ .

$(0, - 4)$

خطوة 8

إدخال مسألتك