حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

f (x) = x^{3}

$f (x) = x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 3

$n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ

$f (x)$ بالنسبة إلى

$x$ هو

$3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ ثم أوجِد حل المعادلة

$3 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$3 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

اقسِم كل حد في

$3 x^{2} = 0$ على

$3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم كل حد في

$3 x^{2} = 0$ على

$3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.2.1.2

اقسِم

$x^{2}$ على

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اقسِم

$0$ على

$3$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4

بسّط

$\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة

$0$ بالصيغة

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.3

زائد أو ناقص

$0$ يساوي

$0$ .

$x = 0$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ

$0$ هي

$0$ .

$0$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق

$f' (x) = 3 x^{2}$ مساويًا لـ

$0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص

$f (x) = x^{3}$ هو

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة

$(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع

$- 1$ إلى القوة

$2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1$

خطوة 5.2.2

اضرب

$3$ في

$1$ .

$f' (- 1) = 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي

$3$ .

$3$

خطوة 5.3

المشتق في

$x = - 1$ هو

$3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال

$(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال

$(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن

$f' (x) > 0$

تزايد خلال

$(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن

$f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة

$(0, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$1$ في العبارة.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 3 \cdot 1$

خطوة 6.2.2

اضرب

$3$ في

$1$ .

$f' (1) = 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي

$3$ .

$3$

خطوة 6.3

المشتق في

$x = 1$ هو

$3$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال

$(0, \infty)$ .

تزايد خلال

$(0, \infty)$ نظرًا إلى أن

$f' (x) > 0$

تزايد خلال

$(0, \infty)$ نظرًا إلى أن

$f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال:

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

خطوة 8

إدخال مسألتك