حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

4 x^{3} - x^{4} + x + 5

$4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن

4

$4$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

4 x^{3}

$4 x^{3}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

4 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 3

$n = 3$ .

4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.3

اضرب

3

$3$ في

4

$4$ .

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [- x^{4}]

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن

- 1

$- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

- x^{4}

$- x^{4}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

- \frac{d}{d x} [x^{4}]

$- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 4

$n = 4$ .

12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.3

اضرب

4

$4$ في

- 1

$- 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 1

$n = 1$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.4.2

بما أن

5

$5$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، فإن مشتق

5

$5$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ و

0

$0$ .

12 x^{2} - 4 x^{3} + 1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

خطوة 2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

x \approx 3.02727941

$x \approx 3.02727941$

خطوة 3

قسّم

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم

x

$x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ

0

$0$ أو غير معرّف.

(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد، مثل

0

$0$ ، من الفترة

(- \infty, 3.02727941)

$(- \infty, 3.02727941)$ في المشتق الأول

- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير

x

$x$ بـ

0

$0$ في العبارة.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2

اضرب

$- 4$ في

$0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.1.3

ينتج

$0$ عن رفع

$0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

خطوة 4.2.1.4

اضرب

$12$ في

$0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

خطوة 4.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف

$0$ و

$0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

خطوة 4.2.2.2

أضف

$0$ و

$1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي

$1$ .

$1$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل

$6$ ، من الفترة

$(3.02727941, \infty)$ في المشتق الأول

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$6$ في العبارة.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع

$6$ إلى القوة

$3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب

$- 4$ في

$216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2.1.3

ارفع

$6$ إلى القوة

$2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب

$12$ في

$36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف

$- 864$ و

$432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

خطوة 5.2.2.2

أضف

$- 432$ و

$1$ .

$f' (6) = - 431$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي

$- 431$ .

$- 431$

خطوة 6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول

$x = 3.02727941$ ، إذن توجد نقطة تحوّل عند

$x = 3.02727941$ .

خطوة 7

أوجِد الإحداثي الصادي لـ

$3.02727941$ لإيجاد نقطة التحوّل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد

$f (3.02727941)$ لإيجاد الإحداثي الصادي لـ

$3.02727941$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استبدِل المتغير

$x$ بـ

$3.02727941$ في العبارة.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2

بسّط

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

احذِف الأقواس.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

ارفع

$3.02727941$ إلى القوة

$3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.2

اضرب

$4$ في

$27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.3

ارفع

$3.02727941$ إلى القوة

$4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.4

اضرب

$- 1$ في

$83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.3.1

اطرح

$83.98660555$ من

$110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.3.2

أضف

$26.98644204$ و

$3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

خطوة 7.1.2.3.3

أضف

$30.01372146$ و

$5$ .

$35.01372146$

خطوة 7.2

اكتب الإحداثيين

$x$ و

$y$ بصيغة النقطة.

$(3.02727941, 35.01372146)$

خطوة 8

إدخال مسألتك