حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.4.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ و $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

خطوة 2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx 3.02727941$

خطوة 3

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, 3.02727941)$ في المشتق الأول $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $12$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

خطوة 4.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 5

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(3.02727941, \infty)$ في المشتق الأول $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 4$ في $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $12$ في $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 864$ و $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 432$ و $1$ .

$f' (6) = - 431$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 431$ .

$- 431$

خطوة 6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 3.02727941$ ، إذن توجد نقطة تحوّل عند $x = 3.02727941$ .

خطوة 7

أوجِد الإحداثي الصادي لـ $3.02727941$ لإيجاد نقطة التحوّل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أوجِد $f (3.02727941)$ لإيجاد الإحداثي الصادي لـ $3.02727941$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.02727941$ في العبارة.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2

بسّط $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

احذِف الأقواس.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.2.1

ارفع $3.02727941$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.2

اضرب $4$ في $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.3

ارفع $3.02727941$ إلى القوة $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.2.4

اضرب $- 1$ في $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.3

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.3.1

اطرح $83.98660555$ من $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

خطوة 7.1.2.3.2

أضف $26.98644204$ و $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

خطوة 7.1.2.3.3

أضف $30.01372146$ و $5$ .

$35.01372146$

خطوة 7.2

اكتب الإحداثيين $x$ و $y$ بصيغة النقطة.

$(3.02727941, 35.01372146)$

خطوة 8

إدخال مسألتك