حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

lim x \to \infty \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

\frac{lim x \to \infty 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim x \to \infty 7 x^{4} + 14}

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

خطوة 1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

\frac{\infty}{lim x \to \infty 7 x^{4} + 14}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

خطوة 1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

lim x \to \infty \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

6 x^{4} - 5 x^{2}

$6 x^{4} - 5 x^{2}$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [6 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن

6

$6$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

6 x^{4}

$6 x^{4}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

6 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

lim x \to \infty \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 4

$n = 4$ .

lim x \to \infty \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.3.3

اضرب

4

$4$ في

6

$6$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن

- 5

$- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 2

$n = 2$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.4.3

اضرب

2

$2$ في

- 5

$- 5$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق

7 x^{4} + 14

$7 x^{4} + 14$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة

\frac{d}{d x} [7 x^{4}]

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

بما أن

7

$7$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، إذن مشتق

7 x^{4}

$7 x^{4}$ بالنسبة إلى

x

$x$ يساوي

7 \frac{d}{d x} [x^{4}]

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ حيث

n = 4

$n = 4$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

خطوة 3.6.3

اضرب

4

$4$ في

7

$7$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

خطوة 3.7

بما أن

14

$14$ عدد ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ ، فإن مشتق

14

$14$ بالنسبة إلى

x

$x$ هو

0

$0$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

خطوة 3.8

أضف

28 x^{3}

$28 x^{3}$ و

0

$0$ .

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

خطوة 4

انقُل الحد

\frac{1}{28}

$\frac{1}{28}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ .

\frac{1}{28} lim x \to \infty \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

خطوة 5

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ

x

$x$ في القاسم، وهي

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{1}{28} lim x \to \infty \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ

x^{3}

$x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.1.2

اقسِم

$24$ على

$1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.2

احذِف العامل المشترك لـ

$x$ و

$x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل

$x$ من

$- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل

$x$ من

$x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ

$x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

خطوة 6.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب

$x$ من

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب

$x$ من

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد

$24$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$x$ من

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 6.6

انقُل الحد

$10$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

$x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر

$\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من

$0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد

$1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

$x$ من

$\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

خطوة 8.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اقسِم

$24 - 10 \cdot 0$ على

$1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

خطوة 8.2.2

اضرب

$- 10$ في

$0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

خطوة 8.2.3

أضف

$24$ و

$0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

خطوة 8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

أخرِج العامل

$4$ من

$28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

خطوة 8.2.4.2

أخرِج العامل

$4$ من

$24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

خطوة 8.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

خطوة 8.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

خطوة 8.2.5

اجمع

$\frac{1}{7}$ و

$6$ .

$\frac{6}{7}$

إدخال مسألتك