الجبر الأمثلة
S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣a−b−ca−b−ca−b+c⎤⎥⎦
خطوة 1
يحدد التحويل خريطة من R3 إلى R3. ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.
المجموع: R3→R3
خطوة 2
أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.
S(x+y)=S(x)+S(y)
خطوة 3
أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ S.
S⎛⎜⎝⎡⎢⎣x1x2x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1y2y3⎤⎥⎦⎞⎟⎠
خطوة 4
أضف المصفوفتين.
S⎡⎢⎣x1+y1x2+y2x3+y3⎤⎥⎦
خطوة 5
طبّق التحويل على المتجه.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1+y1−(x2+y2)−(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)−(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
خطوة 6
خطوة 6.1
أعِد ترتيب x1+y1−(x2+y2)−(x3+y3).
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−x2−x3+y1−y2−y3x1+y1−(x2+y2)−(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
خطوة 6.2
أعِد ترتيب x1+y1−(x2+y2)−(x3+y3).
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−x2−x3+y1−y2−y3x1−x2−x3+y1−y2−y3x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
خطوة 6.3
أعِد ترتيب x1+y1−(x2+y2)+x3+y3.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−x2−x3+y1−y2−y3x1−x2−x3+y1−y2−y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−x2−x3+y1−y2−y3x1−x2−x3+y1−y2−y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
خطوة 7
قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−x2−x3x1−x2−x3x1−x2+x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1−y2−y3y1−y2−y3y1−y2+y3⎤⎥⎦
خطوة 8
خاصية الجمع للتحويل تنطبق.
S(x+y)=S(x)+S(y)
خطوة 9
لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.
S(px)=T⎛⎜⎝p⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠
خطوة 10
خطوة 10.1
اضرب p في كل عنصر في المصفوفة.
S(px)=S⎛⎜⎝⎡⎢⎣papbpc⎤⎥⎦⎞⎟⎠
خطوة 10.2
طبّق التحويل على المتجه.
S(px)=⎡⎢⎣(pa)−(pb)−(pc)(pa)−(pb)−(pc)(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
خطوة 10.3
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 10.3.1
أعِد ترتيب (pa)−(pb)−(pc).
S(px)=⎡⎢⎣ap−1bp−1cp(pa)−(pb)−(pc)(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
خطوة 10.3.2
أعِد ترتيب (pa)−(pb)−(pc).
S(px)=⎡⎢⎣ap−1bp−1cpap−1bp−1cp(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
خطوة 10.3.3
أعِد ترتيب (pa)−(pb)+pc.
S(px)=⎡⎢⎣ap−1bp−1cpap−1bp−1cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣ap−1bp−1cpap−1bp−1cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
خطوة 10.4
حلّل كل عنصر من عناصر المصفوفة إلى عوامل.
خطوة 10.4.1
حلّل العنصر 0,0 إلى عوامل بضرب ap−1bp−1cp.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−b−c)ap−1bp−1cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
خطوة 10.4.2
حلّل العنصر 1,0 إلى عوامل بضرب ap−1bp−1cp.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−b−c)p(a−b−c)ap−1bp+cp⎤⎥⎦
خطوة 10.4.3
حلّل العنصر 2,0 إلى عوامل بضرب ap−1bp+cp.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−b−c)p(a−b−c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣p(a−b−c)p(a−b−c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣p(a−b−c)p(a−b−c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
خطوة 11
الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.
S⎛⎜⎝p⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=pS(x)
خطوة 12
لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.
S(0)=0
خطوة 13
طبّق التحويل على المتجه.
S(0)=⎡⎢⎣(0)−(0)−(0)(0)−(0)−(0)(0)−(0)+0⎤⎥⎦
خطوة 14
خطوة 14.1
أعِد ترتيب (0)−(0)−(0).
S(0)=⎡⎢⎣0(0)−(0)−(0)(0)−(0)+0⎤⎥⎦
خطوة 14.2
أعِد ترتيب (0)−(0)−(0).
S(0)=⎡⎢⎣00(0)−(0)+0⎤⎥⎦
خطوة 14.3
أعِد ترتيب (0)−(0)+0.
S(0)=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
S(0)=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
خطوة 15
التحويل يحافظ على المتجه الصفري.
S(0)=0
خطوة 16
نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.
التحويل الخطي
