الجبر الأمثلة

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a b c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} a - b - c a - b - c a - b + c \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b - c \\ a - b + c \end{array}]$

خطوة 1

يحدد التحويل خريطة من

R^{3}

$ℝ^{3}$ إلى

R^{3}

$ℝ^{3}$ . ولإثبات أن التحويل خطي، يجب أن يحافظ التحويل على ضرب الكميات العددية وجمع المتجهات والمتجه الصفري.

المجموع:

R^{3} \to R^{3}

$ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

خطوة 2

أولاً، اثبت أن التحويل يحافظ على هذه الخاصية.

S (x + y) = S (x) + S (y)

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 3

أنشئ مصفوفتين للتأكد مما إذا كانت خاصية الجمع محفوظة لـ

S

$S$ .

S ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} x_{2} x_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} y_{1} y_{2} y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

خطوة 4

أضف المصفوفتين.

S ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} x_{2} + y_{2} x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 5

طبّق التحويل على المتجه.

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

S (x + y) = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب

x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 7

قسّم النتيجة إلى مصفوفتين بتجميع المتغيرات.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

خطوة 8

خاصية الجمع للتحويل تنطبق.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

خطوة 9

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب أن يحافظ على ضرب الكمية العددية.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

خطوة 10

حلّل

$p$ إلى عوامل من كل عنصر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب

$p$ في كل عنصر في المصفوفة.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

خطوة 10.2

طبّق التحويل على المتجه.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

خطوة 10.3

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد ترتيب

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

خطوة 10.3.2

أعِد ترتيب

$(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

خطوة 10.3.3

أعِد ترتيب

$(p a) - (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

خطوة 10.4

حلّل كل عنصر من عناصر المصفوفة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

حلّل العنصر

$0, 0$ إلى عوامل بضرب

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ a p - 1 b p - 1 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

خطوة 10.4.2

حلّل العنصر

$1, 0$ إلى عوامل بضرب

$a p - 1 b p - 1 c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

خطوة 10.4.3

حلّل العنصر

$2, 0$ إلى عوامل بضرب

$a p - 1 b p + c p$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

خطوة 11

الخاصية الثانية للتحويلات الخطية محفوظة في هذا التحويل.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

خطوة 12

لكي يكون التحويل خطيًا، يجب الحفاظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 13

طبّق التحويل على المتجه.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

خطوة 14

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد ترتيب

$(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

خطوة 14.2

أعِد ترتيب

$(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب

$(0) - (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

خطوة 15

التحويل يحافظ على المتجه الصفري.

$S (0) = 0$

خطوة 16

نظرًا إلى عدم استيفائه جميع الخصائص الثلاثة للتحويلات الخطية، إذن هذا ليس تحويلاً خطيًا.

التحويل الخطي

إدخال مسألتك