الجبر الأمثلة
[0110]
خطوة 1
خطوة 1.1
عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة p(λ).
p(λ)=محدِّد(A−λI2)
خطوة 1.2
المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم 2 هي المصفوفة المربعة 2×2 التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.
[1001]
خطوة 1.3
عوّض بالقيم المعروفة في p(λ)=محدِّد(A−λI2).
خطوة 1.3.1
عوّض بقيمة A التي تساوي [0110].
p(λ)=محدِّد([0110]−λI2)
خطوة 1.3.2
عوّض بقيمة I2 التي تساوي [1001].
p(λ)=محدِّد([0110]−λ[1001])
p(λ)=محدِّد([0110]−λ[1001])
خطوة 1.4
بسّط.
خطوة 1.4.1
بسّط كل حد.
خطوة 1.4.1.1
اضرب −λ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ⋅1−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2
بسّط كل عنصر في المصفوفة.
خطوة 1.4.1.2.1
اضرب −1 في 1.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ−λ⋅0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2
اضرب −λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.2.1
اضرب 0 في −1.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ0λ−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.2.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ0−λ⋅0−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3
اضرب −λ⋅0.
خطوة 1.4.1.2.3.1
اضرب 0 في −1.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00λ−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.3.2
اضرب 0 في λ.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00−λ⋅1])
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00−λ⋅1])
خطوة 1.4.1.2.4
اضرب −1 في 1.
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00−λ])
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00−λ])
p(λ)=محدِّد([0110]+[−λ00−λ])
خطوة 1.4.2
اجمع العناصر المتناظرة.
p(λ)=محدِّد[0−λ1+01+00−λ]
خطوة 1.4.3
Simplify each element.
خطوة 1.4.3.1
اطرح λ من 0.
p(λ)=محدِّد[−λ1+01+00−λ]
خطوة 1.4.3.2
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[−λ11+00−λ]
خطوة 1.4.3.3
أضف 1 و0.
p(λ)=محدِّد[−λ110−λ]
خطوة 1.4.3.4
اطرح λ من 0.
p(λ)=محدِّد[−λ11−λ]
p(λ)=محدِّد[−λ11−λ]
p(λ)=محدِّد[−λ11−λ]
خطوة 1.5
Find the determinant.
خطوة 1.5.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة ∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
p(λ)=−λ(−λ)−1⋅1
خطوة 1.5.2
بسّط كل حد.
خطوة 1.5.2.1
أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.
p(λ)=−1⋅−1λ⋅λ−1⋅1
خطوة 1.5.2.2
اضرب λ في λ بجمع الأُسس.
خطوة 1.5.2.2.1
انقُل λ.
p(λ)=−1⋅−1(λ⋅λ)−1⋅1
خطوة 1.5.2.2.2
اضرب λ في λ.
p(λ)=−1⋅−1λ2−1⋅1
p(λ)=−1⋅−1λ2−1⋅1
خطوة 1.5.2.3
اضرب −1 في −1.
p(λ)=1λ2−1⋅1
خطوة 1.5.2.4
اضرب λ2 في 1.
p(λ)=λ2−1⋅1
خطوة 1.5.2.5
اضرب −1 في 1.
p(λ)=λ2−1
p(λ)=λ2−1
p(λ)=λ2−1
خطوة 1.6
عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ 0 لإيجاد القيم الذاتية λ.
λ2−1=0
خطوة 1.7
أوجِد قيمة λ.
خطوة 1.7.1
أضف 1 إلى كلا المتعادلين.
λ2=1
خطوة 1.7.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
λ=±√1
خطوة 1.7.3
أي جذر لـ 1 هو 1.
λ=±1
خطوة 1.7.4
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
خطوة 1.7.4.1
أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ ± لإيجاد الحل الأول.
λ=1
خطوة 1.7.4.2
بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ ± لإيجاد الحل الثاني.
λ=−1
خطوة 1.7.4.3
الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.
λ=1,−1
λ=1,−1
λ=1,−1
λ=1,−1
خطوة 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where N is the null space and I is the identity matrix.
εA=N(A−λI2)
خطوة 3
خطوة 3.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([0110]−[1001])
خطوة 3.2
بسّط.
خطوة 3.2.1
اطرح العناصر المتناظرة.
[0−11−01−00−1]
خطوة 3.2.2
Simplify each element.
خطوة 3.2.2.1
اطرح 1 من 0.
[−11−01−00−1]
خطوة 3.2.2.2
اطرح 0 من 1.
[−111−00−1]
خطوة 3.2.2.3
اطرح 0 من 1.
[−1110−1]
خطوة 3.2.2.4
اطرح 1 من 0.
[−111−1]
[−111−1]
[−111−1]
خطوة 3.3
Find the null space when λ=1.
خطوة 3.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[−1101−10]
خطوة 3.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 3.3.2.1
Multiply each element of R1 by −1 to make the entry at 1,1 a 1.
خطوة 3.3.2.1.1
Multiply each element of R1 by −1 to make the entry at 1,1 a 1.
[−−1−1⋅1−01−10]
خطوة 3.3.2.1.2
بسّط R1.
[1−101−10]
[1−101−10]
خطوة 3.3.2.2
Perform the row operation R2=R2−R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 3.3.2.2.1
Perform the row operation R2=R2−R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1−101−1−1+10−0]
خطوة 3.3.2.2.2
بسّط R2.
[1−10000]
[1−10000]
[1−10000]
خطوة 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x−y=0
0=0
خطوة 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[yy]
خطوة 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[11]
خطوة 3.3.6
Write as a solution set.
{y[11]∣∣∣y∈R}
خطوة 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[11]}
{[11]}
{[11]}
خطوة 4
خطوة 4.1
عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.
N([0110]+[1001])
خطوة 4.2
بسّط.
خطوة 4.2.1
اجمع العناصر المتناظرة.
[0+11+01+00+1]
خطوة 4.2.2
Simplify each element.
خطوة 4.2.2.1
أضف 0 و1.
[11+01+00+1]
خطوة 4.2.2.2
أضف 1 و0.
[111+00+1]
خطوة 4.2.2.3
أضف 1 و0.
[1110+1]
خطوة 4.2.2.4
أضف 0 و1.
[1111]
[1111]
[1111]
خطوة 4.3
Find the null space when λ=−1.
خطوة 4.3.1
Write as an augmented matrix for Ax=0.
[110110]
خطوة 4.3.2
أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.
خطوة 4.3.2.1
Perform the row operation R2=R2−R1 to make the entry at 2,1 a 0.
خطوة 4.3.2.1.1
Perform the row operation R2=R2−R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1101−11−10−0]
خطوة 4.3.2.1.2
بسّط R2.
[110000]
[110000]
[110000]
خطوة 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
x+y=0
0=0
خطوة 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
[xy]=[−yy]
خطوة 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
[xy]=y[−11]
خطوة 4.3.6
Write as a solution set.
{y[−11]∣∣∣y∈R}
خطوة 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
{[−11]}
{[−11]}
{[−11]}
خطوة 5
The eigenspace of A is the list of the vector space for each eigenvalue.
{[11],[−11]}
