الجبر الأمثلة

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 1

حلّل

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة

$\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها

$p$ هي عامل الثابت و

$q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات

$\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

خطوة 1.1.3

عوّض بـ

$1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي

$0$ ، إذن

$1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بـ

$1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

خطوة 1.1.3.2

ارفع

$1$ إلى القوة

$3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

خطوة 1.1.3.3

ارفع

$1$ إلى القوة

$2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

خطوة 1.1.3.4

اضرب

$4$ في

$1$ .

$1 + 4 + 1 - 6$

خطوة 1.1.3.5

أضف

$1$ و

$4$ .

$5 + 1 - 6$

خطوة 1.1.3.6

أضف

$5$ و

$1$ .

$6 - 6$

خطوة 1.1.3.7

اطرح

$6$ من

$6$ .

$0$

خطوة 1.1.4

بما أن

$1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على

$x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

خطوة 1.1.5

اقسِم

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ على

$x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة

$0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

خطوة 1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

$x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

خطوة 1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

خطوة 1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

خطوة 1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

$5 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

$x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$

خطوة 1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

خطوة 1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

$5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

خطوة 1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

خطوة 1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

خطوة 1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم

$6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه

$x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

خطوة 1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

خطوة 1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في

$6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

خطوة 1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

خطوة 1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي

$0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 5 x + 6$

خطوة 1.1.6

اكتب

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 1.2

حلّل

$x^{2} + 5 x + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل

$x^{2} + 5 x + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة

$x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما

$c$ ومجموعهما

$b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما

$6$ ومجموعهما

$5$ .

$2, 3$

خطوة 1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

خطوة 2

حلّل

$x^{2} + 5 x + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ضع في اعتبارك الصيغة

$x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما

$c$ ومجموعهما

$b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما

$6$ ومجموعهما

$5$ .

$2, 3$

خطوة 2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

خطوة 3

ألغِ العامل المشترك لـ

$x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4

ألغِ العامل المشترك لـ

$x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 4.2

اقسِم

$x - 1$ على

$1$ .

$f (x) = x - 1$

خطوة 5

لإيجاد الفجوات في الرسم البياني، انظر إلى عوامل القاسم المحذوفة.

$x + 2, x + 3$

خطوة 6

لإيجاد إحداثيات الفجوات، عيّن قيمة كل عامل محذوف بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ ، وأوجِد الحل، وعوّض به مجددًا في

$x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة

$x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 6.2

اطرح

$2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6.3

عوّض بـ

$- 2$ عن

$x$ في

$x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عوّض بـ

$- 2$ عن

$x$ لإيجاد الإحداثي

$y$ للفجوة.

$- 2 - 1$

خطوة 6.3.2

اطرح

$1$ من

$- 2$ .

$- 3$

خطوة 6.4

عيّن قيمة

$x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 6.5

اطرح

$3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 6.6

عوّض بـ

$- 3$ عن

$x$ في

$x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

عوّض بـ

$- 3$ عن

$x$ لإيجاد الإحداثي

$y$ للفجوة.

$- 3 - 1$

خطوة 6.6.2

اطرح

$1$ من

$- 3$ .

$- 4$

خطوة 6.7

الفجوات في الرسم البياني هي النقاط التي يكون عندها أي عامل من العوامل المحذوفة مساويًا لـ

$0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

خطوة 7

إدخال مسألتك