الجبر الأمثلة
(1,2,-3)(1,2,−3) , (3,5,-3)(3,5,−3) , (1,-1,1)(1,−1,1) , (-2,-2,-2)(−2,−2,−2)
خطوة 1
بمعلومية النقطتين C=(1,-1,1)C=(1,−1,1) وD=(-2,-2,-2)D=(−2,−2,−2)، أوجِد مستوى يحتوي على النقطتين A=(1,2,-3)A=(1,2,−3) وB=(3,5,-3)B=(3,5,−3) ويكون موازيًا للخط CDCD.
A=(1,2,-3)A=(1,2,−3)
B=(3,5,-3)B=(3,5,−3)
C=(1,-1,1)C=(1,−1,1)
D=(-2,-2,-2)D=(−2,−2,−2)
خطوة 2
أولاً، احسِب متجه الاتجاه للخط المار بالنقطتين CC وDD. يمكن إجراء ذلك عن طريق أخذ قيم إحداثيات النقطة CC وطرحها من النقطة DD.
VCD=<xD-xC,yD-yC,zD-zC>VCD=<xD−xC,yD−yC,zD−zC>
خطوة 3
عوّض بقيم xx وyy وzz، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه VCDVCD للخط CDCD.
VCD=⟨-3,-1,-3⟩VCD=⟨−3,−1,−3⟩
خطوة 4
احسب متجه الاتجاه لخط يمر بالنقطتين AA وBB باستخدام نفس الطريقة.
VAB=<xB-xA,yB-yA,zB-zA>VAB=<xB−xA,yB−yA,zB−zA>
خطوة 5
عوّض بقيم xx وyy وzz، ثم بسّط لإيجاد متجه الاتجاه VABVAB للخط ABAB.
VAB=⟨2,3,0⟩VAB=⟨2,3,0⟩
خطوة 6
سيحتوي مستوى الحل على خط مستقيم يتضمن النقطتين AA وBB وبه متجه الاتجاه VABVAB. ولكي يكون هذا المستوى موازيًا للخط المستقيم CDCD، أوجِد المتجه الطبيعي للمستوى الذي يُعد متعامدًا أيضًا على متجه الاتجاه للخط المستقيم CDCD. واحسِب قيمة المتجه الطبيعي بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ VABVAB في VCDVCD بإيجاد محدد المصفوفة [ijkxB-xAyB-yAzB-zAxD-xCyD-yCzD-zC]⎡⎢⎣ijkxB−xAyB−yAzB−zAxD−xCyD−yCzD−zC⎤⎥⎦.
[ijk230-3-1-3]⎡⎢⎣ijk230−3−1−3⎤⎥⎦
خطوة 7
خطوة 7.1
اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من 00 من العناصر. إذا لم تكن هناك 00 من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في الصف 11 في العامل المساعد وأضف.
خطوة 7.1.1
ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.
|+-+-+-+-+|∣∣
∣∣+−+−+−+−+∣∣
∣∣
خطوة 7.1.2
العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع -− على مخطط الإشارة.
خطوة 7.1.3
المختصر لـ a11a11 هو المحدد مع حذف الصف 11 والعمود 11.
|30-1-3|∣∣∣30−1−3∣∣∣
خطوة 7.1.4
اضرب العنصر a11a11 بعامله المساعد.
i|30-1-3|i∣∣∣30−1−3∣∣∣
خطوة 7.1.5
المختصر لـ a12a12 هو المحدد مع حذف الصف 11 والعمود 22.
|20-3-3|∣∣∣20−3−3∣∣∣
خطوة 7.1.6
اضرب العنصر a12a12 بعامله المساعد.
-|20-3-3|j−∣∣∣20−3−3∣∣∣j
خطوة 7.1.7
المختصر لـ a13a13 هو المحدد مع حذف الصف 11 والعمود 33.
|23-3-1|∣∣∣23−3−1∣∣∣
خطوة 7.1.8
اضرب العنصر a13a13 بعامله المساعد.
|23-3-1|k∣∣∣23−3−1∣∣∣k
خطوة 7.1.9
أضف الحدود معًا.
i|30-1-3|-|20-3-3|j+|23-3-1|ki∣∣∣30−1−3∣∣∣−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
i|30-1-3|-|20-3-3|j+|23-3-1|ki∣∣∣30−1−3∣∣∣−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
خطوة 7.2
احسِب قيمة |30-1-3|∣∣∣30−1−3∣∣∣.
خطوة 7.2.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×22×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cb.
i(3⋅-3--0)-|20-3-3|j+|23-3-1|ki(3⋅−3−−0)−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
خطوة 7.2.2
بسّط المحدد.
خطوة 7.2.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 7.2.2.1.1
اضرب 33 في -3−3.
i(-9--0)-|20-3-3|j+|23-3-1|ki(−9−−0)−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
خطوة 7.2.2.1.2
اضرب --0−−0.
خطوة 7.2.2.1.2.1
اضرب -1−1 في 00.
i(-9-0)-|20-3-3|j+|23-3-1|ki(−9−0)−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
خطوة 7.2.2.1.2.2
اضرب -1−1 في 00.
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|ki(−9+0)−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|ki(−9+0)−∣∣∣20−3−3∣∣∣j+∣∣∣23−3−1∣∣∣k
i(-9+0)-|20-3-3|j+|23-3-1|k
خطوة 7.2.2.2
أضف -9 و0.
i⋅-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i⋅-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
i⋅-9-|20-3-3|j+|23-3-1|k
خطوة 7.3
احسِب قيمة |20-3-3|.
خطوة 7.3.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
i⋅-9-(2⋅-3-(-3⋅0))j+|23-3-1|k
خطوة 7.3.2
بسّط المحدد.
خطوة 7.3.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 7.3.2.1.1
اضرب 2 في -3.
i⋅-9-(-6-(-3⋅0))j+|23-3-1|k
خطوة 7.3.2.1.2
اضرب -(-3⋅0).
خطوة 7.3.2.1.2.1
اضرب -3 في 0.
i⋅-9-(-6-0)j+|23-3-1|k
خطوة 7.3.2.1.2.2
اضرب -1 في 0.
i⋅-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
i⋅-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
i⋅-9-(-6+0)j+|23-3-1|k
خطوة 7.3.2.2
أضف -6 و0.
i⋅-9--6j+|23-3-1|k
i⋅-9--6j+|23-3-1|k
i⋅-9--6j+|23-3-1|k
خطوة 7.4
احسِب قيمة |23-3-1|.
خطوة 7.4.1
يمكن إيجاد محدد المصفوفة 2×2 باستخدام القاعدة |abcd|=ad-cb.
i⋅-9--6j+(2⋅-1-(-3⋅3))k
خطوة 7.4.2
بسّط المحدد.
خطوة 7.4.2.1
بسّط كل حد.
خطوة 7.4.2.1.1
اضرب 2 في -1.
i⋅-9--6j+(-2-(-3⋅3))k
خطوة 7.4.2.1.2
اضرب -(-3⋅3).
خطوة 7.4.2.1.2.1
اضرب -3 في 3.
i⋅-9--6j+(-2--9)k
خطوة 7.4.2.1.2.2
اضرب -1 في -9.
i⋅-9--6j+(-2+9)k
i⋅-9--6j+(-2+9)k
i⋅-9--6j+(-2+9)k
خطوة 7.4.2.2
أضف -2 و9.
i⋅-9--6j+7k
i⋅-9--6j+7k
i⋅-9--6j+7k
خطوة 7.5
بسّط كل حد.
خطوة 7.5.1
انقُل -9 إلى يسار i.
-9⋅i--6j+7k
خطوة 7.5.2
اضرب -1 في -6.
-9i+6j+7k
-9i+6j+7k
-9i+6j+7k
خطوة 8
خطوة 8.1
بسّط كل حد.
خطوة 8.1.1
اضرب -9 في 1.
-9+(6)⋅2+(7)⋅-3
خطوة 8.1.2
اضرب 6 في 2.
-9+12+(7)⋅-3
خطوة 8.1.3
اضرب 7 في -3.
-9+12-21
-9+12-21
خطوة 8.2
بسّط عن طريق الجمع والطرح.
خطوة 8.2.1
أضف -9 و12.
3-21
خطوة 8.2.2
اطرح 21 من 3.
-18
-18
-18
خطوة 9
أضف الثابت لتجد أن معادلة المستوى ستصبح (-9)x+(6)y+(7)z=-18.
(-9)x+(6)y+(7)z=-18
خطوة 10
اضرب 7 في z.
-9x+6y+7z=-18