الجبر الأمثلة

$x - y = 4$ ,

$4 x - y = - 5$

خطوة 1

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة

$(p, q, r)$ والعمودي على المستوى

$P_{1}$

$a x + b y + c z = d$ والمستوى

$P_{2}$

$e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى

$P_{1}$ والمستوى

$P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل

$x = p + a t$ و

$y = q + b t$ و

$z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى

$P_{2}$ ، مثل

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ

$t$ .

4. باستخدام قيمة

$t$ ، أوجِد قيمة

$t$ في المعادلات الوسطية

$x = p + a t$ و

$y = q + b t$ و

$z = r + c t$ لإيجاد التقاطع

$(x, y, z)$ .

خطوة 2

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$P_{1}$ هو

$x - y = 4$ . أوجِد المتجه العادي

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.2

$P_{2}$ هو

$4 x - y = - 5$ . أوجِد المتجه العادي

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ

$n_{1}$ و

$n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم

$x$ و

$y$ و

$z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب

$4$ في

$1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.2

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.3

اضرب

$0$ في

$0$ .

$4 + 1 + 0$

خطوة 2.4.3

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أضف

$4$ و

$1$ .

$5 + 0$

خطوة 2.4.3.2

أضف

$5$ و

$0$ .

$5$

خطوة 3

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية

$x = p + a t$ و

$y = q + b t$ و

$z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل

$(0, 0, 0)$ للنقطة

$(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي

$5$ للقيم

$a$ و

$b$ و

$c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على

$P_{1}$

$x - y = 4$ .

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 4

استبدِل العبارة بـ

$x$ و

$y$ و

$z$ وعوّض بقيمها في المعادلة

$P_{2}$

$4 x - y = - 5$ .

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5

أوجِد قيمة

$t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أضف

$0$ و

$1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.1.2

اطرح

$1 \cdot t$ من

$0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب

$t$ في

$1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة

$- 1 t$ بالصيغة

$- t$ .

$4 t - - t = - 5$

خطوة 5.1.2.3

اضرب

$- - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

خطوة 5.1.2.3.2

اضرب

$t$ في

$1$ .

$4 t + t = - 5$

خطوة 5.1.3

أضف

$4 t$ و

$t$ .

$5 t = - 5$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في

$5 t = - 5$ على

$5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في

$5 t = - 5$ على

$5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

$5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم

$t$ على

$1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم

$- 5$ على

$5$ .

$t = - 1$

خطوة 6

أوجِد قيم

$x$ و

$y$ و

$z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة

$t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد قيمة

$x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

خطوة 6.1.2

بسّط

$0 + 1 \cdot (- 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$x = 0 - 1$

خطوة 6.1.2.2

اطرح

$1$ من

$0$ .

$x = - 1$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة

$y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

خطوة 6.2.2

بسّط

$0 - 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$y = 0 + 1$

خطوة 6.2.2.2

أضف

$0$ و

$1$ .

$y = 1$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة

$z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

خطوة 6.3.2

بسّط

$0 + 0 \cdot (- 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 6.3.2.2

أضف

$0$ و

$0$ .

$z = 0$

خطوة 6.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم

$x$ و

$y$ و

$z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

خطوة 7

باستخدام القيم المحسوبة لـ

$x$ و

$y$ و

$z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي

$(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

إدخال مسألتك