الجبر الأمثلة

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

خطوة 1

لإيجاد تقاطع الخط المار بالنقطة $(p, q, r)$ والعمودي على المستوى $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ والمستوى $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. أوجِد المتجهات العادية للمستوى $P_{1}$ والمستوى $P_{2}$ ، حيث تكون المتجهات العادية $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ و $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . تحقق لمعرفة ما إذا كان حاصل الضرب النقطي هو 0.

2. قم بإنشاء مجموعة من المعادلات الوسطية، مثل $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ .

3. استبدِل هذه المعادلات بمعادلة المستوى $P_{2}$ ، مثل $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ وأوجِد الحل لـ $t$ .

4. باستخدام قيمة $t$ ، أوجِد قيمة $t$ في المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ لإيجاد التقاطع $(x, y, z)$ .

خطوة 2

أوجِد المتجهات العادية لكل مستوى وحدد ما إذا كانت متعامدة بحساب حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$P_{1}$ هو $x - y = 4$ . أوجِد المتجه العادي $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.2

$P_{2}$ هو $4 x - y = - 5$ . أوجِد المتجه العادي $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ من معادلة السطح المستوي بالصيغة $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

خطوة 2.3

احسب حاصل الضرب القياسي لـ $n_{1}$ و $n_{2}$ عن طريق جمع نواتج قيم $x$ و $y$ و $z$ المقابلة في المتجهات العادية.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4

بسّط حاصل الضرب القياسي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

احذِف الأقواس.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

خطوة 2.4.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$4 + 1 + 0$

خطوة 2.4.3

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أضف $4$ و $1$ .

$5 + 0$

خطوة 2.4.3.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 3

بعد ذلك، أنشئ مجموعة من المعادلات الوسطية $x = p + a t$ و $y = q + b t$ و $z = r + c t$ باستخدام نقطة الأصل $(0, 0, 0)$ للنقطة $(p, q, r)$ والقيم من المتجه العمودي $5$ للقيم $a$ و $b$ و $c$ . تمثِّل هذه المجموعة من المعادلات الوسطية الخط المارّ بالأصل المتعامد على $P_{1}$ $x - y = 4$ .

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

خطوة 4

استبدِل العبارة بـ $x$ و $y$ و $z$ وعوّض بقيمها في المعادلة $P_{2}$ $4 x - y = - 5$ .

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أضف $0$ و $1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.1.2

اطرح $1 \cdot t$ من $0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $t$ في $1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة $- 1 t$ بالصيغة $- t$ .

$4 t - - t = - 5$

خطوة 5.1.2.3

اضرب $- - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

خطوة 5.1.2.3.2

اضرب $t$ في $1$ .

$4 t + t = - 5$

خطوة 5.1.3

أضف $4 t$ و $t$ .

$5 t = - 5$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $5 t = - 5$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $5 t = - 5$ على $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $- 5$ على $5$ .

$t = - 1$

خطوة 6

أوجِد قيم $x$ و $y$ و $z$ في المعادلات الوسطية مستخدمًا قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احذِف الأقواس.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

خطوة 6.1.2

بسّط $0 + 1 \cdot (- 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x = 0 - 1$

خطوة 6.1.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$x = - 1$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $y$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

خطوة 6.2.2

بسّط $0 - 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = 0 + 1$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$y = 1$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $z$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

احذِف الأقواس.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

خطوة 6.3.2

بسّط $0 + 0 \cdot (- 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$z = 0 + 0$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$z = 0$

خطوة 6.4

المعادلات الوسطية التي تم إيجاد بها قيم $x$ و $y$ و $z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

خطوة 7

باستخدام القيم المحسوبة لـ $x$ و $y$ و $z$ ، تم إيجاد أن نقطة التقاطع هي $(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

إدخال مسألتك